Atcoder ARC 082C/D

C - Together

传送门：http://arc082.contest.atcoder.jp/tasks/arc082_a

本题是一个数学问题。

有一个长度为n的自然数列a[1..n]，对于每一个a[i]，有三种操作：

①inc a[i]；

②dec a[i]；

③do nothing。

之后，选择一个自然数x，统计数列中等于x的元素的数目num(x)，最大化答案。

考虑x有以下三种来源：

①x:=inc a[i]，while a[i]==x-1；

②x:=dec a[i]，while a[i]==x+1；

③x:=a[i]，while a[i]==x。

于是，对于每一个x，num(x)的最大值为cnt(x-1)+cnt(x)+cnt(x+1)。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_A 100010

int cnt[MAX_A];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        cnt[++a]++;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_A; i++) {
        int cur = cnt[i - 1] + cnt[i] + cnt[i + 1];
        if (cur > ans) ans = cur;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

D - Derangement

传送门：http://arc082.contest.atcoder.jp/tasks/arc082_b

本题是一个数学问题。

有一个长度为n的数列a[1..n]，这是一个1..n的排列。有操作：交换相邻的两个元素。经过有限次交换操作，这个排列将满足：对任意1≤i≤n，有a[i]≠i。求最小的交换次数。

对于每一个位置，记a[i]=i的情形为X，a[i]≠i的情形为O，则考虑相邻元素的情形：

①“XO”（或“OX”）：a[i]=i，a[i+1]=x(x≠i,i+1)。此时，交换a[i]和a[i+1]，即有a[i]=x(x≠i,i+1)，a[i+1]=i，为“OO”；

②“XX”：a[i]=i，a[i+1]=i+1。此时，交换a[i]和a[i+1]，即有a[i]=i+1，a[i+1]=i，为“OO”。

于是，对于每一个X，若这个位置i<n，则交换a[i]和a[i+1]；若这个位置为n，则交换a[n-1]和a[n]。自左向右检查即可。

可见，“XO”、“OX”、“XX”三种情形的交换次数均为1，统计出现以上情形的次数即可。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 100001

int a[MAX_N];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i] == i) {
            cnt++;
            if (i < n && a[i + 1] == i + 1) i++;
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}