Codeforces 805D/804B - Minimum number of steps

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对于一个由‘a’、‘b’组成的字符串，有如下操作：将字符串中的一个子串“ab”替换成“bba”。当字符串中不含有子串“ab”时，任务完成。求完成任务的最小操作次数（mod10⁹+7）。

最终，字符串的形式为：

bbb...baaa...a

可以考虑寻找规律：

a.

i）“ab”→“bba”，

ii）“aab”→“abba”→“bbaba”→“bbbbaa”，

iii）“aaab”→“aabba”→“abbaba”→“bbababa”→“bbbbaaba”→“bbbbabbaa”→“bbbbbbabaa”→“bbbbbbbbaaa”；

b.

i）“ab”→“bba”，

ii）“abb”→“bbab”→“bbbba”，

iii）“abbb”→“bbabb”→“bbbbab”→“bbbbbba”。

可见，$"\underbrace{a\cdots a}_{n}b"$型字符串的操作次数为2ⁿ-1，$"a\underbrace{b\cdots b}_{m}"$型字符串的操作次数为m。下证之：

a.（证：$"a\underbrace{b\cdots b}_{m}"$型字符串的操作次数为m）

i）当m=1时，“ab”→“bba”，操作次数为1；

ii）假设当m=k时，$"a\underbrace{b\cdots b}_{k}"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2k}a"$，操作次数为k，则当m=k+1时：

由$"a\underbrace{b\cdots b}_{2k+1}b"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2k}ab"$的操作次数为k，由$"\underbrace{b\cdots b}_{2k}ab"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2k}bba"$的操作次数为1。故由$"a\underbrace{b\cdots b}_{2k+1}"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2k+2}a"$的操作次数为k+1。

b.（证：$"\underbrace{a\cdots a}_{n}b"$型字符串的操作次数为2ⁿ-1）

i）当n=1时，“ab”→“bba”，操作次数为1；

ii）假设当n=k时，$"\underbrace{a\cdots a}_{k}b"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2^{k}}\underbrace{a\cdots a}_{k}"$，操作次数为2^k-1，则当n=k+1时：

由$"a\underbrace{a\cdots a}_{k}b"$→$"a\underbrace{b\cdots b}_{2^{k}}\underbrace{a\cdots a}_{k}"$的操作次数为2^k-1，由$"a\underbrace{b\cdots b}_{2^{k}}\underbrace{a\cdots a}_{k}"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2^{k}}\underbrace{b\cdots b}_{2^{k}}a\underbrace{a\cdots a}_{n}"$的操作次数为2^k。故由$"\underbrace{a\cdots a}_{k+1}b"$→$"\underbrace{b\cdots b}_{2^{k+1}}\underbrace{a\cdots a}_{k+1}"$的操作次数为2^k-1+2^k=2^k+1-1。

考虑一般的情形：

设字符串的长度为len，其中，字符‘b’占据位置p₁,p₂,...,p_n。这个字符串对应的操作次数为：$\sum_{i=1}^{n}(2^{p_{i}-i}-1)$。

若1..p_i的字符‘a’个数为cnt_i，则cnt_i=p_i-i。这个字符串对应的操作次数为：$\sum_{i=1}^{n}(2^{cnt_{i}}-1)$。

下证之：

（A为只含有字符‘a’的字符串，B为只含有字符‘b’的字符串；A、B可为空。）

i）当n=1时，$"\underbrace{a\cdots a}_{cnt_{1}}\underset{1}{b}"$→"BA"，操作次数为$2^{cnt_{1}}-1$；

ii）假设当n=k时，$"A\underset{1}{b}\cdots A\underset{k}{b}\cdots"$→"BA"的操作次数为$\sum_{i=1}^{k}(2^{cnt_{i}}-1)$，则当n=k+1时：

由$"A\underset{1}{b}\cdots A\underset{k}{b}A\underset{k+1}{b}\cdots"$→$"BA*\underset{k+1}{b}\cdots"$的操作次数为$\sum_{i=1}^{k}(2^{cnt_{i}}-1)$，A*的长度为cnt_k+1，则由$"BA*\underset{k+1}{b}\cdots"$→"BA"的操作次数为$2^{cnt_{k+1}}-1$。故由$"A\underset{1}{b}\cdots A\underset{k}{b}A\underset{k+1}{b}\cdots"$→"BA"的操作次数为$\sum_{i=1}^{k+1}(2^{cnt_{i}}-1)$。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MOD 1000000007

int pwr(long long x, int p)
{
    if (p == 0) return 1;
    if (p & 1) return x * pwr(x, p - 1) % MOD;
    return pwr(x * x % MOD, p >> 1) % MOD;
}

int main(void)
{
    char ch;
    int cnt = 0, ans = 0;
    while ((ch = getchar()) != '\n') {
        if (ch == 'a') cnt++;
        else {
            ans += pwr(2, cnt) - 1;
            ans %= MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
}