CF1188D Make Equal

题意

给定序列a，要求每次操作给某个元素加上\(2^i\)，使得最终序列元素全部相同，求最小操作数

题解

设最终元素为 y,答案就是\(\sum_{i=1}^{n}bit(y-a_i)\)，其中定义bit(i)是 i 的二进制下的1的个数

首先发现减号不好维护，\(x=y-a_n\)，\(b_i=a_n-a_i\)，\(a_n\)是最大值，答案就变成了\(\sum_{i=1}^{n}bit(x+b_i)\)

考虑 dp 并逐位计算贡献，此时若计算到第 i 位，对这一位的贡献造成影响的因素是

1. x 的第 i 位取值

2. \(b_j\) 的第 i 位取值

3. \(x+b_j\)在第 i-1 位的进位

1 在dp时可以分两种情况讨论，2 是确定的，考虑 3 如何快速计算

这个时候发现，第 i-1 位的进位情况与\(b_j\mod2^{i}\)下的大小有关，若按照\(\mod 2^{i}\)降序排序，产生贡献的一定是一段前缀

枚举x第 i 位是多少，根据上一位的进位计算出第 i 位的进位和状态，转移即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=1e5+11;
struct st_{
	int b,st;
	friend bool operator<(st_ a,st_ b){return a.st>b.st;}
}a[N];
int n;
int num[N];
int f[61][N];
inline void min_(int &a,int b){a=(a<b?a:b);return;}
inline int read()
{
	int s=0;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return s;
}
signed main()
{
	n=read();
	int maxx=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i].b=read(),maxx=(maxx>a[i].b?maxx:a[i].b);
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i].b=maxx-a[i].b,a[i].st=a[i].b&1;
	sort(a+1,a+n+1);
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for(int i=0;i<=59;++i)
	{
		for(int j=1;j<=n;++j) num[j]=num[j-1]+(bool)((1ll<<i)&a[j].b);//,cout<<num[j]<<" ";
//		cout<<endl;
		for(int j=0;j<=n;++j)
		{
			min_(f[i+1][num[j]],f[i][j]+j+num[n]-2*num[j]);
			min_(f[i+1][j+num[n]-num[j]],f[i][j]+num[j]+n-j-(num[n]-num[j]));
		}
		for(int j=1;j<=n;++j) a[j].st=a[j].b&((1ll<<i+1)-1);
//		for(int j=1;j<=n;++j) cout<<a[j].b<<" ";
//		cout<<endl;
		sort(a+1,a+n+1);
	}
	cout<<f[60][0]<<endl;
	return 0;
}