直线方程初探

目录

• 平行与垂直
• 距离问题
• 对称问题

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平行与垂直

平行即斜率相同，在一般式 \(Ax+By+C=0\) 中，如果要判断平行，记住斜率 \(-\dfrac{A_1}{B_1}=-\dfrac{A_2}{B_2}\) 就行了，当然在带入数之前，要适当地对等式施加一些变换，这样之后代入数之后才更好算。

垂直靠方向向量的点积等于零推出来，即 \(1+k_1k_2=0\)，即 \(k_1k_2=-1\)，在一般式中就是 \(\dfrac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1\)，当然正如上面所说的，先在脑子里把这个式子换成 \(A_1A_2+B_1B_2=0\) 会更好，因为现在这种形式符号一般会更少，脑子更容易处理。

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距离问题

两点间距离公式 \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)

点到直线的距离

如果是 \(P(x_0,y_0)\) 和 \(y=kx+b\)，那么把 \(y=kx+b\) 和 \(y-y_0=-\dfrac1k(x-x_0)\) 联立，最后用两点间距离公式就行了。

如果是 \(P(x_0,y_0)\) 和 \(Ax+By+C=0\)，有一个很简便的公式 \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。（这玩意不比上面那个傻逼联立好用？）

这个公式在 \(A=0\) 或 \(B=0\) 的情况也能用。

这个有很多推导方法，要是闲着没事，我往这里放了一种，可以看看。

以下推导默认 \(A\neq0\and B\neq0\)。

首先有一个小插曲，\(Ax_0+By_0+C\) 在 \((x_0,y_0)\) 不在直线上时看似没有意义对吧？毕竟直线本身就是 \(x,y\) 两个维度之间的关系，但是如果只确定一个维度，直线上是必然存在一个点的。

那么必有 \(x_1,y_1\) 使得 \((x_0,y_1)\) 和 \((x_1,y_0)\) 均在直线上，故而 \(Ax_0+By_0+C=Ax_0+By_1+C+B(y_0-y_1)=B(y_0-y_1)\)，且 \(Ax_0+By_0+C=Ax_1+By_0+C+A(x_0-x_1)=A(x_0-x_1)\)。

那么设 \(\Delta x=x_0-x_1\)，\(\Delta y=y_0-y_1\)，显然 \(|\Delta x|\) 就是 \(P(x_0,y_0)\) 沿 \(x\) 轴方向到直线的距离，\(|\Delta y|\) 就是沿 \(y\) 轴方向到直线的距离，而且：

\[|\Delta x|=\left|\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A}\right|\\ |\Delta y|=\left|\dfrac{Ax_0+By_0+C}{B}\right| \]

那么这就形成了一个以 \(|\Delta x|\) 和 \(|\Delta y|\) 为边长的直角三角形，斜边上的高就是点到直线的距离。

如果算出了斜边长 \(L\)，那么点到直线的距离 \(d=\dfrac{|\Delta x|\cdot|\Delta y|}L\)。

首先 \(L=\sqrt{|\Delta x|^2+|\Delta y|^2}=\sqrt{\dfrac{(A^2+B^2)(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2B^2}}=\dfrac{\sqrt{A^2+B^2}}{|AB|}\cdot|Ax_0+By_0+C|\)

所以 \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

平行直线的距离

这个公式是 点到直线的距离 公式的衍生。

得到它的具体方法是，先把两条直线整理成 \(A,B\) 都相同的状态，然后其中一条直线在 \(y\) 轴上的点（即 \((0,截距)\)）到另一条直线上的距离就是所求了。

也就是 \(\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

这个公式在 \(B=0\) 的时候也能用。

这两个公式是用有约束的情况推的，却能用到所有情况上，不免令人遐想：这类问题是否可以用更高的视角看待？

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对称问题

关于直线对称的点

已知点 \(P(x_0,y_0)\)，直线 \(Ax+By+C=0\)，求点 \(P\) 关于直线的对称点 \(P'(x_1,y_1)\)。

还记得在本节的 **距离问题 **中证明 点到直线的距离公式 时用到的 \(Ax_0+By_0+C=?\) 的相关结论吗？

可以发现：

\[x_1=x_0-\Delta x=x_0-\frac{Ax_0+By_0+C}A=-\frac{By_0+C}A\\ y_1=y_0-\Delta y=y_0-\frac{Ax_0+By_0+C}B=-\frac{Ax_0+C}B \]

然而这个公式在 \(A=0\) 或是 \(B=0\) 的情况下不顶用，要减去两个 \(\Delta\)，我在网上搜到了另一个公式：

\[x_1=x_0-2A\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\\ y_1=y_0-2B\cdot\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2} \]

这个公式在 \(A=0\) 或是 \(B=0\) 的情况也顶用。

这个是通过求直线和两个对称点所成直线的交点推出来的，我摸了，不证了。

关于直线对称的直线

有公式：

直线 \(ax+by+c\) 关于对称轴 \(Ax+By+C\) 的对称直线为：

\[(A^2+B^2)(ax+by+c)=(2aA+2bB)(Ax+By+C) \]

证不了，摸了。

不用公式的话，如果对称轴水平或者竖直且直线与对称轴有交点还挺好求，其它情况就很操蛋。