一些集合运算的性质

目录

• 并集和交集的性质
  • 性质 1
  • 性质 2
  • 性质 3
  • 性质 4
  • 性质 5
• 德摩根律
  • 在逻辑学中的类似定理
  • 定理本身与对其的证明

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并集和交集的性质

性质 1

$A\subset (A\cup B)$ 且 $A \supset (A\cap B)$

证明：

若 $x\in A$，则 $x\in A$ 或 $x\in B$，故第一个结果成立。

若 $x\in (A\cap B)$，则 $x\in A$ 且 $x \in B$，则 $x \in A$，故第二个结果成立。

性质 2

当且仅当 $A\cup B = B$ 时 $A\subset B$

证明：

右到左： 假设 $A\sub B$，尝试证明 $A\cup B\sub B$ 且 $A\cup B\supset B$。

由于假设 $A\sub B$，那么 $(A\cup B)\sub (B\cup B)$，即 $A\cup B\sub B$；

而 $A\cup B\supset B$ 是显然成立的。

左到右： 假设 $A\cup B = B$，显然 $A\sub (A\cup B) = B$。

性质 3

当且仅当 $A\cap B = A$ 时 $A\sub B$

证明：

右到左： 假设 $A\sub B$，尝试证明 $A\cap B\sub A$ 和 $A\cap B \supset A$。

$A\cap B\sub A$ 显然成立；由于 $A\sub B$，那么

若有 $x\in A$，则 $x\in B$，即 $x\in A$ 且 $x\in B$，故 $A\cap B\supset A$ 成立。

左到右： 假设 $A\cap B = A$，显然 $B\supset (A\cap B)$，即 $A\sub B$。

性质 4

对于任意 $n\in N$，有：

$$A\cup(B_1\cap B_2\cap\cdots \cap B_n) = (A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)\cap\cdots\cap(A\cup B_n)$$

即，并集具有对交集的分配律。

证明：

要证明的东西可以写成：

$$A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) = \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)$$

等价于证明：

$$A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)$$

和：

$$A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)$$

第一个式子：

令 $x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)$，如果 $x\in A$，那么显然对于任意 $B_i$，$x\in (A\cup B_i)$，那么 $x\in \bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)$；如果 $x\in\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)$，那么对于任意 $B_i$，$x\in B_i$，$x\in(A\cup B_i)$，也成立。

第二个式子：

令 $x\in\bigcap_{i=1}^n (A\cup B_i)$，那么对于任意 $i$，$x\in(A\cup B_i)$。

若 $x\in A$，那么 $x\in A\cup\left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)$;

若 $x\in B_i$，那么 $x\in \left( \bigcap_{i=1}^n B_i \right)$，也成立。

性质 5

$$A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) = \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)$$

即交集具有对交集的分配律。

证明：

令 $x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)$，则 $x\in A$ 且 $x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)$，故而必然有某个 $i$ 使得 $x\in (A\cap B_i)$，故而 $x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)$，这就证明了$A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \sub \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)$

令 $x\in \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)$，即 $x\in A$，而且存在某个 $i$ 使得 $x\in B_i$，故而 $x\in \left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)$，故而 $x\in A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right)$，这就证明了 $A\cap\left(\bigcup_{i=1}^n B_i \right) \supset \bigcup_{i=1}^n(A\cap B_i)$

德摩根律

在逻辑学中的类似定理

对于两个命题 $\bf A$ 和 $\bf B$，有：

$$\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})\\ \neg({\bf A}\and{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\or(\neg{\bf B})$$

大声读出来就可以明白正确性。

定理本身与对其的证明

令 $E_{\alpha}$ 表示任意一族集合，令所有 $E_{\alpha}$ 都是集合 $X$ 的子集，在下文中以 $E_{\alpha}^C$ 来表示在 $X$ 中 $E_{\alpha}$ 的补集。

定理：

$$\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C\\ \left(\bigcap_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha}E_{\alpha}^C$$

证明：

以 $\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha}E_{\alpha}^C$ 为例，实际上可以用之前无数次证明中所使用的定理 $A=B\Longleftrightarrow A\sub B\and A\supset B$ 来证明，但也可以使用上文提到的 $\neg({\bf A}\or{\bf B}) \Longleftrightarrow (\neg{\bf A})\and(\neg{\bf B})$ 来证明，具体过程是：

设命题 ${\bf P}(x,\alpha)$ 表示 $x\in E_{\alpha}$，那么 $x\in\left(\bigcup_{\alpha}E_{\alpha} \right)^C$ 这个命题就等价于 $\neg \left(\bigvee_{\alpha}{\bf P}(x,\alpha)\right)$，当然有一些逻辑上的边界需要处理，比如 $x\notin E_{\alpha}$ 实际上表示 $x\notin E_{\alpha} \and x\in X$，但无伤大雅，借此，定理就得证了。