向量点乘
定义
向量点积的定义:
→a⋅→b=|→a||→b|cos<→a,→b>→a⋅→b=|→a||→b|cos<→a,→b>
其中 cos<→a,→b>cos<→a,→b> 表示 →a→a 和 →b→b 之间的小于等于 ππ 的夹角。
分配律
向量的点积具有对向量加法的分配律,即,→c⋅(→a+→b)=→c⋅→a+→c⋅→b→c⋅(→a+→b)=→c⋅→a+→c⋅→b。
显然当 →c=0→c=0 的时候是显然成立的,其余情况下如何证明呢?首先看下面的图。
其中 BABA 表示 →B→B 在 →A→A 朝向上的投影,|BA||BA| 在数值上等于 |→B|cos<→B,→A>|→B|cos<→B,→A>,CACA 和 (B+C)A(B+C)A 类比即可。
这样 →A⋅→B→A⋅→B 在数值上就等于 |BA||A||BA||A|。
从上面的图可以看出,|BA|+|CA|=|(B+C)A||BA|+|CA|=|(B+C)A|,由此:
→A⋅(→B+→C)=|→A||(B+C)A|=|→A|(|BA|+|CA|)=|→A||BA|+|→A||CA|=→A⋅→B+→A⋅→B
QED.
在坐标表示下的数值
在坐标表示下,→a=(xa,ya)=xa→ex+ya→ey,→b=(xb,yb)=xb→ex+yb→ey。
那么
→a⋅→b=(xa→ex+ya→ey)⋅(xb→ex+yb→ey)=xaxb→ex→ex+yaxb→ey→ex+xayb→ex→ey+yayb→ey→ey=xaxb+yayb
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