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向量点乘



定义

向量点积的定义:

ab=|a||b|cos<a,b>ab=|a||b|cos<a,b>

其中 cos<a,b>cos<a,b> 表示 aabb 之间的小于等于 ππ 的夹角。

分配律

向量的点积具有对向量加法的分配律,即,c(a+b)=ca+cbc(a+b)=ca+cb

显然当 c=0c=0 的时候是显然成立的,其余情况下如何证明呢?首先看下面的图。

经典图片

其中 BABA 表示 BBAA 朝向上的投影,|BA||BA| 在数值上等于 |B|cos<B,A>|B|cos<B,A>CACA(B+C)A(B+C)A 类比即可。

这样 ABAB 在数值上就等于 |BA||A||BA||A|

从上面的图可以看出,|BA|+|CA|=|(B+C)A||BA|+|CA|=|(B+C)A|,由此:

A(B+C)=|A||(B+C)A|=|A|(|BA|+|CA|)=|A||BA|+|A||CA|=AB+AB

QED.

在坐标表示下的数值

在坐标表示下,a=(xa,ya)=xaex+yaeyb=(xb,yb)=xbex+ybey

那么

ab=(xaex+yaey)(xbex+ybey)=xaxbexex+yaxbeyex+xaybexey+yaybeyey=xaxb+yayb

posted @   sirinakydxt  阅读(526)  评论(0编辑  收藏  举报
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