向量点乘



定义

向量点积的定义:

\[\vec a\cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos<\vec a,\vec b> \]

其中 \(\cos<\vec a,\vec b>\) 表示 \(\vec a\)\(\vec b\) 之间的小于等于 \(\pi\) 的夹角。

分配律

向量的点积具有对向量加法的分配律,即,\(\vec c\cdot(\vec a+\vec b) = \vec c\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec b\)

显然当 $\vec c =0 $ 的时候是显然成立的,其余情况下如何证明呢?首先看下面的图。

经典图片

其中 \(B_A\) 表示 \(\vec B\)\(\vec A\) 朝向上的投影,\(|B_A|\) 在数值上等于 \(|\vec B|\cos<\vec B,\vec A>\)\(C_A\)\((B+C)_A\) 类比即可。

这样 \(\vec A\cdot\vec B\) 在数值上就等于 \(|B_A||A|\)

从上面的图可以看出,\(|B_A|+|C_A|=|(B+C)_A|\),由此:

\[\begin{align} \vec A\cdot(\vec B+\vec C) &= |\vec A||(B+C)_A|\\ &= |\vec A|(|B_A|+|C_A|)\\ &=|\vec A||B_A|+|\vec A||C_A|\\ &=\vec A\cdot\vec B+\vec A\cdot\vec B \end{align} \]

QED.

在坐标表示下的数值

在坐标表示下,\(\vec a = (x_a,y_a) = x_a\vec e_x+y_a\vec e_y\)\(\vec b=(x_b,y_b)=x_b\vec e_x+y_b\vec e_y\)

那么

\[\begin{align} \vec a\cdot \vec b &= (x_a\vec e_x+y_a\vec e_y)\cdot(x_b\vec e_x+y_b\vec e_y)\\ &=x_ax_b\vec e_x\vec e_x+y_ax_b\vec e_y\vec e_x+x_ay_b\vec e_x\vec e_y+y_ay_b\vec e_y\vec e_y\\ &= x_ax_b+y_ay_b \end{align} \]

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