指数分布和泊松过程(Exponential Distribution and Poisson Process)--3

Counting Processes (计数过程)

随机过程 ${N (t), t \geq 0}$ 是计数过程当且仅当 $N (t)$ 表示到时间 $t$ 为止事件发生的次数。

Poisson Process(泊松过程)

称满足以下公理的计数过程为泊松过程：

$N (0) = 0$
${N (t), t \geq 0}$ 具有独立增量和平稳增量(平稳增量不是必须的)

独立增量：在不相交的时间间隔中时间发生的次数相互独立

平稳增量：在等长的时间间隔中事件发生的次数同分布
$P {N (t + s) - N (t) = 1} = λ s + o (s)$
$P {N (t + s) - N (t) \geq 2} = o (s)$

对于满足以上公理的计数过程 ${N (t), t \geq 0}$ , 有如下定理

$N (t)$ 是具有均值为 $λ t$ 的泊松随机变量，且 $N (t + s) - N (t)$ 也是具有均值为 $λ s$ 的泊松随机变量

后面这个实际上是在说对于满足以上公理的 ${N (t), t \geq 0}$ , 等长时间段内事件发生的次数是均值为 $λ t$ 的泊松随机变量(无记忆性)。这个定理的证明需要对 $N (t)$ 进行Laplace变换(矩母函数的e上多一个负号) $g (μ)$ , 然后通过 $E (X) = E (E (X | Y))$ 得出一个关于 $g (μ)$ 的微分方程，接着通过Laplace变换的唯一性得到 $N (t)$ 实际上满足泊松分布。

这里的 $λ$ 是泊松过程的速率，它越大，等长时间内事件发生的次数的均值就越大，这意味着平均来看这个过程就越快。

Homogeneous Poisson Process (时齐泊松过程)

1. 两相邻到达事件时间间隔的分布

设 $T_{i}$ 表示第 $i - 1$ 个事件和第 $i$ 个事件达到的间隔时间，我们要求 $T_{i}$ 的分布即求 $P {T_{i} > t}$ 的概率。因为 $P {T_{1} > t} = P {N (t) = 0}$ , 又因为 $N (t)$ 是一个均值为 $λ$ 的泊松随机变量，所以 $P {T_{1} > t} = e^{- λ t}$ . 下面来考虑 $P {T_{2} > t}$ , 在第一个事件到达的情况下有

$P {T_{2} > t | T_{1} = s} = P {在(s,t+s]的区间中没有事件到达 | T_{1} = s} = e^{- λ t}$

最后一个等号是因为泊松过程的独立增量和平稳增量。再根据 $P {T_{2} > t} = E (P {T_{2} > t | T_{1} = s})$ 得到 $T_{2}$ 也是服从均值为 $\frac{1}{λ}$ 的指数分布。重复这个过程可以得到以下命题

$T_{n}$ 是独立同分布的指数随机变量，均值为 $\frac{1}{λ}$

2. 第 $n$ 个事件达到时间的分布(等待时间的分布)

第 $n$ 个时间到达的时间 $S_{n}$ 可以表为： $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} T_{i}$ , 由上面知道 $T_{i}$ 是服从均值为 $\frac{1}{λ}$ 的指数随机变量，而 $n$ 个参数为 $λ$ 的指数随机变量的和是服从参数为 $n, λ$ 的伽马随机变量，所以 $S_{n}$ 服从参数为 $n, λ$ 的伽马分布，即