数理方程中定解问题的求解法(一)

泛定方程和定解问题

泛定方程和叠加原理

简单来说泛定方程就是不带任何初始条件和边界条件的方程，它刻画广泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问题。泛定方程有线性和非线性之分，而线性泛定方程满足叠加原理，而叠加原理是求解线性范定方程的定解问题的强有力的工具。叠加原理是建立在线性算子上的，线性算子包括微分，积分等，它作用在函数上。如果一个算子$\mathbf{\text{L}}$满足:

$\mathbf{\text{L}}\mathit{(}\mathit{a}{\mathit{u}}_{\mathit{1}}\mathit{+}\mathit{b}{\mathit{u}}_{\mathit{2}}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{a}\mathbf{\text{L}}\mathit{(}{\mathit{u}}_{\mathit{1}}\mathit{)}\mathit{+}\mathit{b}\mathbf{\text{L}}\mathit{(}{\mathit{u}}_{\mathit{2}}\mathit{)}$

其中$u_1,u_2$是函数，那么$\mathbf{\text{L}}$就是线性算子，而线性算子的叠加原理的描述如下：

如果$u_1(x,y),u_2,(x,y),...$都是泛定方程 $\mathbf{\text{L}}u(x,y)=0$的解，那么级数 $u^{\ast }=\sum _{i=1}^n{C}_i{u}_i(x,y)$ 在收敛且每一项的二阶导数存在的情况下，$u^{\ast }$也是泛定方程$\mathbf{\text{L}}u(x,y)=0$的解。

需要注意的是叠加原理的使用要求泛定方程是线性齐次的，对于非线性方程叠加原理失效。

初始条件和边界条件

一个泛定方程如果没有相应的条件，那就求解不出对应为问题的解。对于时空的泛定方程，初始条件描述系统在$t=0$时的状态，比如初始时刻的速度，位置等，需要注意的是哪一个时刻可以定义为$t=0$是人为决定的，并没有绝对的标准；而边界条件则描述系统在空间上的约束，它描述系统在空间中的某些位置的状态。

定解问题

定解问题可以看做泛定方程和初始条件以及边界条件组成的方程组，泛定方程描述广泛性的规律，而初始条件和边界条件对泛定方程解的范围进行约束。

求解定解方程的方法

往后的几篇博文将分别介绍以下几种求解定解问题的方法

• 分离变量法
• 本征函数法
• 积分变换法
• 格林函数法