二阶偏微分方程的化简思路

本文主要是对顾樵老师 数物方法 一书对应章节的内容的梳理(主要为了抛砖引玉)，有一些自己的理解，如有不妥，还请慷慨指出。

化简的理论

这里所说的二阶偏微分方程主要是指二阶线性双变量偏微分方程，它的一般形式如下所示：
$A\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2B\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+D\frac{\partial u}{\partial y}+Fu=G$
其中大写的英文字母都是$x,y$的函数，这是一个非齐次方程，如果$G=0$，那么它就变成一个齐次的方程。

为了化简上述方程，我们进行变量的替换: $\xi =\xi (x,y);\eta =\eta (x,y)$. 需要注意的是这里进行变量替换的目的是为了化简上述方程，它可以用图表示为：

而在多元函数的微积分中我们也有过进行变量替换的操作(主要是为了进行积分的方便): $x=x(\xi ,\eta );y=y(\xi ,\eta )$, 它的图为：

需要注意这两种变量替换是不同的，在多元函数的微积分中的变量替换一般是线性的，而这里为了化简方程所进行的变量替换一般不是线性的。

进行变量替换后的方程可以写为:
$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}+2b\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}+d\frac{\partial u}{\partial \eta }+fu=g(1)$
其中的小写字母如下所示：

双曲型的: $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{不}\mathrm{含}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{项}$ 或者 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\mathrm{同}\mathrm{前}$
抛物线型的: $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{不}\mathrm{含}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{项}$ 或者 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\mathrm{同}\mathrm{前}$
椭圆型的：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{不}\mathrm{含}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{项}$
根据以上的想法，我们可以看到我们定义的变换$\xi ,\eta$只需要使得(1)式中的二阶导数项中有一项或者两项的系数为0就可以达到目的。
这里$a,c$有相同的形式，我们先考虑它，进而考虑齐次方程
$A(\frac{\partial W}{\partial x}{)}^2+2B\frac{\partial W}{\partial x}\frac{\partial W}{\partial y}+C(\frac{\partial W}{\partial y}{)}^2=0(2)$
当$W$不是常数时，两边同时除以$(\frac{\partial W}{\partial y}{)}^2$, 可以得到下面的方程:
$A(\frac{\frac{\partial W}{\partial x}}{\frac{\partial W}{\partial y}}{)}^2+2B\frac{\frac{\partial W}{\partial x}}{\frac{\partial W}{\partial y}}+C=0$
此时，如果$y=y(x)$，那么根据隐函数定理有$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial W}{\partial x}}{\frac{\partial W}{\partial y}}$
那么有:
$A(\frac{dy}{dx}{)}^2-2B(\frac{dy}{dx})+C=0$
这是一个关于$y^{\prime }$的二次方程，它的解为:
$y^{\prime }=\frac{B+\sqrt{B^2-AC}}{A}$ 以及 $y^{\prime }=\frac{B-\sqrt{B^2-AC}}{A}$
那么根据$\mathrm{\Delta }=B^2-AC$的情况我们有：
a. $\mathrm{\Delta }>0$时，有两个不同的$\frac{dy}{dx}$，从而解出两个不同的$y_1=y_1(x)$ 和 $y_2=y_2(x)$, 那么通过整理可以得到$\xi (x,y_1)={\gamma }_1$以及$\eta (x,y_2)={\gamma }_2$
其中${\gamma }_1$和${\gamma }_2$是任意的两个常数，它们的存在保证了$\xi (x,y_1)$和$\eta (x,y_2)$使得$a=c=0$, 从而达到将(1)式化简为双曲型的目的。
b. $\mathrm{\Delta }=0$时，有两个相同的$\frac{dy}{dx}$, 从而解出一种 $y=y(x)$, 整理得到$\xi (x,y)={\gamma }_1$这里 ${\gamma }_1$的存在使得$a=0$(当然也可以是$c=0$, 但是它俩只有一个等于0)。另外，将$B^2=AC$带入上面求$b$的式子中我们可以得到$b=0$, 结合$a=0$, 我们可以将(1)式化简为抛物线型的式子。
c. $\mathrm{\Delta }<0$时，$\frac{dy}{dx}$有一对共轭复函数解，从而解出一对共轭的复函数$y_1=y_1(x)$以及$y_2=y_2(x)$。这里假设得到的其中一个整理过后的复函数解为$\psi (x,y)={\psi }_1(x,y)+i{\psi }_2(x,y)$, 这里$\psi (x,y)$满足方程(2)，即$A(\frac{\partial \psi }{\partial x}{)}^2+2B\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \psi }{\partial y}+C(\frac{\partial \psi }{\partial y}{)}^2=0$ , 根据这个等式，把$\psi$换为${\psi }_1+i{\psi }_2$然后进行化简，最后根据实部和虚部都为0，可以得到下列方程:

这个方程结合前面$a，b,c$的方程可以得出，如果取$\xi ={\psi }_1(x,y)$, $\eta ={\psi }_2(x,y)$, 那么有$a=c$，$b=0$,那么方程(1)就可以化简为椭圆型的方程。

化简的步骤

根据上面介绍的化简的理论，下面我们来总结一下给定一个二阶线性双变量的偏微分方程，我们如何对其进行化简：
①. 首先识别出给定的二阶偏微分方程中对应上面的$A,B,C$，然后计算出$\mathrm{\Delta }$
②. 根据计算出的$\mathrm{\Delta }$求解出$y=y(x)$, 然后整理成为$\xi (x,y)={\gamma }_1$和$\eta (x,y)={\gamma }_2$ ($\mathrm{\Delta }=0$ 时，$\eta (x,y)$可以任取一个与$\xi (x,y)$不相关的函数)
③. 利用②中的结果求解出其他系数($b,d,e$),最后带入到变换后的方程(1)中得到结果。