再谈二进制补码

写在前面：此文章不是介绍补码的基础知识，在您向下阅读之前，确保已经对数据的二进制表示有一定的了解，否则请勿浪费时间。

在初学计算机组成原理 (ICS) 的时候，入门的第一课便是数据的编码表示，其中一个重要的部分就是补码 (Complement) 。

在学习补码时，有个结论是经常提到的，而且要求我们记住：

正数的补码是其二进制表示本身，负数的补码是对应正数补码的按位取反再加一。

这个结论等价于：对于某个整型 \(k\) ，\(k\) 的相反数：-k = ~k + 1 。

在大二学习 ICS 这门课的时候，我经常使用这个结论去写出负数的补码（先写正数的补码，然后按位取反再加一）。

但同时我有一个「坏习惯」，当我想把某个负数的补码转换为 10 进制表示时，我总是先把补码按位取反再加一，然后求出正数，即可求得负数。

在学习 CMU 的 15213-CSAPP 的 Course 时，从另外一种角度来理解补码似乎更符合我的思维习惯。

设 \(X=x_{w-1} ... {x_0}\) 是一个比特串，如果将 \(X\) 视作是一个无符号数 (unsigned) ，那么有：

\[B2U(X) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i \cdot 2^i \]

如果将 \(X\) 视作是一个有符号数 (signed) ，那么有：

\[B2T(X)= -x_{w-1} \cdot 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i \cdot 2^i \]

下面是这个公式给我带来的几点启示。

特殊值

对于 32 位的 int ，我们知道 int x = 0x80000000 表示的是十进制中的 -2147483648 。

大一上 C 语言的时候，老师当时的解释：最高位表示的是符号位，因此按「道理」来说， 0x00000000 表示 +0 而 0x80000000 表示 -0 ，但是 0 只需要一种编码表示就够了，所以把 0x80000000 这个负数的编码「分配」给 -2147483648 。同时也是为了满足计算机的「模运算」系统（大溢出变小，小溢出变大），即：

• 0x80000000 - 1 = 0x7fffffff
• 0x7fffffff + 1 = 0x80000000

这种解释对我来说总感觉难以接受，很别扭的感觉。

但是采用上述公式 \(B2T(X)\) 就很好地把所有的二进制编码 统一 映射到我们的十进制数了，整型范围内无一例外。

补码转十进制

假设有 \((10011)_2\) 这个比特串，将其视作有符号数解释。原来没有这个公式，不容易看出对应的十进制数值。原来我是这么转换的：

k    = 10011
~k   = 01100
~k+1 = 01101 = 13

可得 \(k=-13\) 。

现在有了上述公式，就可以口算：-16 + 3 = -13 。至少对我说，这个效率的提升是显然的（当 \(k\) 有 32 位的时候更加明显）。

补码比较大小

设 \(a=(10011)_{2}\) , \(b=(10101)_{2}\) ，将其均视作有符号数解释。原来我的做法是先转换为十进制，然后再比较大小。但根据上述公式 \(B2T(X)\) ，可以看出，公式的 \(x_{w-1} \cdot 2^{w-1} = -16\) 部分是相等的，所以只需比较后半部分，而 0011 < 0101，因此显然可以得出 \(a < b\) 。

这就省略了转换十进制的繁琐过程。

符号扩展和位截断

符号扩展，在之前我有一点难以理解。比如：

int8_t x0 = -8;		// 1111 1000     
int16_t x1 = x0;	// 1111 1111 1111 1000

显然，x1 的值也是 -8 ，但是我一直很迷惑这其中的原理，怎么证明符号扩展（整数扩展补 0 ，负数扩展补 1）后的值不变？对正数来说是显然的；对于负数，我们可以从其绝对值考虑 abs(k) = ~k + 1，所以只需要证明 ~k 的值不变即可，这也显然成立。

下面尝试用上述公式证明。设比特串 \(X_1 = x_{n_{1}-1} ... x_0\)，现在将 \(X_1\) 扩展为 \(n_2\) 位长的有符号数 \(X_2\) 。

Index	\(n_2 - 1\)	...	\(n_1 - 1\)	...	0
\(X_1\)	\(null\)	\(...null...\)	\(1\)	\(x_{n_1-2} ... x_1\)	\(x_0\)
\(X_2\)	\(1\)	\(...111...\)	\(1\)	\(x_{n_1-2} ... x_1\)	\(x_0\)

对于 \(X_1\) ：

\[B2T(X_1) = -2^{n_1-1} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \]

对于 \(X_2\) ：

\[\begin{align} B2T(X_2) &= -2^{n_2-1} + \sum_{i=0}^{n_2-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_2-1} + \sum_{i=n_1-1}^{n_2-2}2^i + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_2-1} + \frac{2^{n_1-1}(1-2^{n_2-n_1})}{1-2} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= -2^{n_1-1} + \sum_{i=0}^{n_1-2}x_i \cdot 2^i \\ &= B2T(X_1) \end{align} \]

证毕。

对于上述 2 种证明方法，第一种显然更简单，但个人更喜欢第二种，更直观，更暴力(●=◡=●)。

有点可惜，自己本科没有上过关于编码的理论课程，但我觉得最初搞计算机，设计出「补码」这种编码方式的那些人实在太强大了。「补码」不仅统一了计算机中加减法的运算，而且对于 C 语言中符号扩展，位截断这些处理都变得十分简单。

对于「位截断」来说：

int16_t a = -99;
int8_t b = a;

证明 b 的值仍然是 -99 的过程就是上述证明的逆过程。

补码的四则运算

加减法

在计算机的硬件层面，是没有实现减法的，在 ALU 中有一个叫加法器 Adder 的东西，加法和减法运算都是由它来完成。对于硬件而言，这些家伙没有十进制的概念，也没有「符号位」的概念，给它 2 个的比特串，他就老老实实的算加法：

   1111 1111
+  0000 0001
------------
 1 0000 0000

对于加法器而言，0xff + 0x01 的结果就是 0x00 ，它可不管你给的有符号数还是无符号数（这些事情都应该是程序员自己来管的，所有 CSAPP 全称叫 Computer System, A Programmer's Perspective ）。溢出的 1 bit 在汇编层面我们可以通过 EFLAGS 来获取，但是这些在 C 的层面是「不可见的」。

那么加法器如何计算减法呢？答案是：x - y = x + ~y + 1 。

乘除法

乘法指令 mul 的指令周期大约是 3 ，除法指令 div 的周期大约是 30 （这一点 CSAPP-2015 的 Course 有提到）。因此对于整数的乘除，值得研讨的是通过移位来优化它们（这是编译器层面的工作）。

对于乘法 a * 10 而言，10 的二进制是 1010 ，在第 1 位和第 3 位分别有 1 ，因此 a * 10 = a << 1 + a << 3 。这一点通过文章开头的 \(BTU(X)\) 公式是很容易证明的。无论 a 是正数还是负数均适用。

对于除法 a / k ，只有 k 是 2 的幂次形式时才能进行移位优化，我们设 \(k = 2^n\)：

• 如果 a 是正数，a / k = a >> n 。
• 如果 a 是负数，\(a / k = (a+2^n-1)>>n\) 。

为什么负数这么特殊？举个 8 位 int 的例子：

int8_t a = -3;  // a = 1111 1101 
a / 2 should be -1.
    
a >> 1 = (1111 1101) >> 1 = (1111 1110) = -2
(a + 2^n - 1) >> 1 = (-3 + 1) >> 1 = (-2) >> 1 = (1111 11110) >> 1 = (1111 1111) = -1

因为对于负数， a >> n 丢弃了某些 1 ，使得 a / k 真实数值向数轴的负方向移动。因此移动 n 位，需要加上 \(n\) 个 1 进行修正，该数值就是 \(2^n - 1\) 。

对于正数来说，a >> n 丢弃的某些 1 ，恰好使得 a / k 向数轴左边移动，这正好就是我们需要的「丢弃」小数位的除法。