从java toBinaryString() 看计算机数值存储方式（原码、反码、补码）

一、toBinaryString 方法及其含义

1.1 方法说明

该方法位于java.lang.Integer类中
方法签名：public static String toBinaryString(int i)
含义：返回参数数值的补码形式，正数则忽略前面的0。（官方注释：返回表示传入参数的一个无符号(这里无符号大概只是指前面没有+-号，但还是有符号位) 的二进制字符串。如果参数为负数x，返回值为 2^32 + x 【就是它的补码】）

1.2 使用示例

    System.out.println(Integer.toBinaryString(3)); // 输出：11
    System.out.println(Integer.toBinaryString(-248)); // 输出：11111111111111111111111100001000

二、计算机数值存储原理

2.1 相关概念

计算机中，包括如Java在内的各语言均是用补码来存储数值的

• 原码：最高位表示符号位 "1"为负、"0"为正，其他位为正常二进制形式。
• 反码：正数的反码即原码本身；负数则在原码的基础上，除符号位之外的其他各位置反。
• 补码：正数的补码即原码本身；负数则在反码基础上+1。

例：
正数：3 = 0000 0011[原 | 反 | 补]
负数：-3 = 1000 0011[原] = 1111 1100[反] = 1111 1101[补]

注：

1. 以上规则只是方便我们人来进行推算，而在实际情况中存在不适用的情况，如：1000 0000[补] = -128。关于这点，后面会解释到。

2.2 为什么会引入补码

通过引入补码，CPU只需单纯的加法器即可完成加减运算，节约成本。

2.3 背景知识：模系统中的运算及理解

1) 一个数加上模，等于它自身

在任意模系统中，其模为：数所能表示的最大值+1。具体到对于n位二进制，其模则为2^n。
注：但对于一般的加减运算来说，是不需要回到自身的（显然的事实，但之前莫名其妙老想着回自身），直接加一个数就行了，只是当加数>=模时，会超过模（溢出高位舍去）然后到达一个值。

示例及理解证明：

1. 钟表上（把12换作0），所能表示的最大数为11，因此其模就为11+1=12。
   根据常识，显然从4点转动12小时，又会回到4点本身，即 4 + 12 = 4
2. 对于2 bit系统，其模为 11b + 1 = 2^2 = 4。
   例：01b + (1)00b = 01b【此处(1)00b表示4，因为高位溢出舍去，显然还是等于它自身】

2) 什么是同余数？

对于同一个除数的余数相等，则这些数称为同余数。具体的对于数a、b、c，若有a%c == b%c，则称a、b彼此是关于c的同余数。

3) 在模系统中，同余数有什么特性？

在模系统中，加上数a可等价为加上它的同余数b。
示例及原因：
  在模 n = 12 的系统中，假设有数 a = -4，构造它的同余数 "k*n + a", k=0,1,2...【公式含义：任意倍数的模n加上a，因此显然是a关于n的同余数（因为倍数k都作为除法的结果上去了，余数始终为 a ）】比如 b = 1*12 + (-4) = 8
根据同余数的构造原理显然可知，在模系统中，加上数a等价于加上同余数b。
【证明步骤：】
c + b = c + k*n + a
因为上述背景知识1)，所以 c + k*n = c
所以 c + b = c + a

2.4 将减法转换为加法

• 思路1：基于同余数的特性，在模n的系统中，对于减法 a - b，可进行以下转化：a - b => a + (-b)，令 c = n + (-b)【由同余数构造可知，显然c是(-b)的最小正同余数】，因此 a + (-b) => a + c，而 (-b)的补码正好就等于c，也就是最小正同余数，所以 a - b => a + (-b)补。
• 思路2：基于模原理，减法则能换成加法来做：令 c = (n-a) + (a-b) = n-b【 n-a 为了使a+c超过模重置为0，(a-b) 移到具体位置】，而 n-b 显然是(-b)的同余数【根据同余数构造可知】，因此 a + (-b) = a + c，而 (-b) 的补码正好等于c。因此 a + b = a + (-b)补。

因此，CPU只需加法器也能完成减法运算。
注：至于为什么(-b)的补码正好就是最小正同余数c，暂未深挖。就是刚好是。

2.5 补码系统中，符号位也要参与运算

使用补码的系统中首位（即符号位）也要参与正常运算，只是当溢出时实际符号可能会倒置，未溢出时运算均是正确的。
（正确性证明，可参考其他博文https://blog.csdn.net/woodpeck/article/details/77747265）
比如在8bit系统中：127 + 1 = [0111 1111]补 + [0000 0001]补 = [1000 0000]补 = -128

2.6 为什么定义 1000 0000[补] = -128

网上很多只是说为了不浪费而简单定义，但光简单定义肯定不行的，肯定还需要符合运算规律。
其实计算机对补码的存储和解释，不一定非要经过源码这一环，那是对人的一种换算方式，1000 0000[补] = -128 是符合计算机运算规律的。
比如：-128 + 1 = -127
[1000 0000]补 + [0000 0001]补 = [1000 0001]补 = [1111 1111]原 = -127

不只是1000 0000[补]=-128，在 n bit补码系统中，对于首位为1其他位为0的数，其值为 -2^(n-1)

部分参考：
https://blog.csdn.net/woodpeck/article/details/77747181