BLE中的调制指数

说明

​ 在BLE的核心规范文档中，对PHY层的调制方式说明如下：

The modulation is Gaussian Frequency Shift Keying (GFSK) with a bandwidth-bit period product BT=0.5. The modulation index shall be between 0.45 and 0.55. A binary one shall be represented by a positive frequency deviation, and a binary zero shall be represented by a negative frequency deviation.

其中重点说明了

1. BLE使用高斯频移键控方式调制（GFSK）
2. 带宽和比特周期的乘积(bandwidth-bit period product)BT=0.5
3. 调制指数（modulation index）应该在0.45和0.55之间

对于第一点GFSK这个网上有很多资料，这里就不多说了。而对于2、3两点，这些参数是什么，为什么要设置这个值。很多人就不太清楚了。这里分享下我研究出来的一些信息。

FSK调制特性

FSK的调制指数

​ 这里的GFSK调制指数其实和一般的AM、PM调制指数定义是有一定区别的。FSK技术通过多年的发展，衍生出了BFSK(二进制FSK)、BFSK的改进MSK(最小间隔FSK)、MSK的改进GMSK(高斯MSK)。不过不管怎么发展，源头一般都是FSK。一般而言FSK的通用公式如下：

一般而言，非角度调制定义中的调制指数的$m_f$定义如下

​ 通过观察我们发现FSK信号的函数形式跟传统的FM调制函数形式差别较大。这里虽然FSK没办法凑出类似FM那样的调制指数形式，但是从定义出发我们知道。所谓调制指数代表了调制的最大频偏。对于FSK，最大频偏$\mathrm{\Delta }f$可以看成高频点$f_1$和第频点$f_2$的差，即

$$\mathrm{\Delta }f=f_1-f_2$$

这里我们做归一化处理，将最大频偏除以基带频率$f_B$，并将其定义为调制指数$h$，则

$$h=\frac{\mathrm{\Delta }f}{f_B}$$

为什么要做归一化处理，不直接用最大频偏作为调制指数呢？这主要是为了下面的功率谱分析准备。

FSK信号的功率谱

如下图所示，FSK信号的功率谱如下图所示。

上图中FSK的中心频率$f_0$为

$$f_0=\frac{f_1+f_2}{2}$$

则$f_1$和$f_2$可以改写为

$$f_1=f_0+\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}=f_0+\frac{h{f}_B}{2}$$

$$f_2=f_0-\frac{\mathrm{\Delta }f}{2}=f_0-\frac{h{f}_B}{2}$$

将上述$f_1$和$f_2$带入到功率函数$P_{2FSK}(f)$中，换成如下形式

$$P_{2FSK}(f)=\frac{1}{4}[P_{s1}(f-(f_0+\frac{h{f}_B}{2})+P_{s1}(f+(f_0+\frac{h{f}_B}{2})]+\frac{1}{4}[P_{s2}(f-(f_0-\frac{h{f}_B}{2})+P_{s2}(f+(f_0-\frac{h{f}_B}{2})]$$

通过上图可以很好的看到，通过对调制指数进行归一化处理，当

$$f=f_0\pm k\ast fb，k\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}$$

带入前面的$P_{2FSK}(f)$时，观察功率谱图可以得到，当$f_b$不变时，不同的调制指数影响着功率谱的形状。调制指数越大，高频点和低频点的功率波峰分的越开，3dB带宽越宽；调制指数越小，功率越集中，带宽越小；

$h$不变的话，$f_b$也会影响功率谱带宽，但不会影响形状，只是把图形进行左右伸缩。

MSK

那多大的调制指数合适呢，这里涉及一个信号正交的问题。我们知道正交的信号处理起来是非常方便的。

上述中$T_B$为基带的比特周期，即

$$T_B=\frac{1}{f_b}$$

上面图中的$f_1-f_0$即上一节讲的最大频偏$\mathrm{\Delta }f$，那么上述结论可以改为。

非相干检波接收，要求

$$f_1-f_0=\frac{m}{T_b}$$

$$\mathrm{\Delta }f=m\ast f_b$$

$$h=\frac{\mathrm{\Delta }f}{f_b}=m$$

同样，对于相干接收，要求

$$h=\frac{\mathrm{\Delta }f}{f_b}=\frac{n}{2}$$

上述中$m，n$为正整数。则可以看到，对于非相干检波接收，最小调制指数为1。对于相干接收，最小调制指数为0.5。这样的信号我们就称为最小间隔FSK，也叫MSK。

高斯滤波器

​ 前面讨论的MSK具有包络恒定，带外功率谱密度下降快的有点。为了使信号的功率谱密度进一步集中和减小对相邻信道的干扰。可以在MSK调制前将矩形信号脉冲先通过一个高斯型的滤波器。

如下图所示，高斯滤波器的带宽$B$做归一化处理，一般以其和基带频率做归一化，称为带宽-比特周期乘积，即

$$B{T}_b=\frac{B}{f_b}$$

$BT$值的大小决定了高斯滤波器的带宽，一般BT值越小，能量越集中，但是码间串扰也会越严重。

小结

​ 看到这里其实也应该对BLE规范中的调制指数和BT值规定也应该大致明白是什么东西了。对于BLE，调制指数规定了最大频偏、功率谱特性。BT值指示了GFSK用的高斯滤波器的带宽。可以说，这两个参数很好的将BLE所使用的GFSK信号的调制特征给表现了出来。

BQB测试

​ 在BLE中的BQB，对于BLE的调制特性测试做了规定。在BLE中主要测试两个参数，$\mathrm{\Delta }{f}_1\mathrm{和}\mathrm{\Delta }{f}_2$。这两个所谓的$\mathrm{\Delta }f$参数，本质是表征了前面讲的调制指数$h$。

在前面的内容我们提到，所谓调制指数本质就是最大频偏。

$\mathrm{\Delta }{f}_1$

​ 对于每个00001111bin序列中的第二、第三、第六和第七位，中心频率的偏移量的绝对值被记录为$\mathrm{\Delta }{f}_{1max}$。$\mathrm{\Delta }{f}_{1max}$定义为每个单独位的平均偏差。计算包中所有$\mathrm{\Delta }{f}_1$最大频率的平均频率值计算并记录为$\mathrm{\Delta }{f}_{1avg}$。简单来讲，即上图中红圈框住的长方形的长。

​ 很明显，$\mathrm{\Delta }f1$和调制指数的关系为

$$h=\frac{\mathrm{\Delta }f}{f_b}=\frac{2\mathrm{\Delta }{f}_1}{f_b}$$

BLE规定$h=[0.45,0.55]$，则当BLE在1Mbps速率情况下

$$f_b=R_b=1Mhz$$

$$h=[0.45,0.55]=\frac{2\mathrm{\Delta }{f}_1}{f_b}$$

$$\mathrm{\Delta }f1=[225,275]kHz$$

$\mathrm{\Delta }{f}_2$

​ $\mathrm{\Delta }{f}_2$和$\mathrm{\Delta }{f}_1$类似，不过测试的码元类型变成了01010101。BQB规定每个单独的位至少要被过采样32次。中心频率的偏移量的绝对值被记录为$\mathrm{\Delta }{f}_{2max}$。$\mathrm{\Delta }{f}_{2max}$定义为每个单独位的平均偏差。计算包中所有$\mathrm{\Delta }{f}_2$最大频率的平均频率值计算并记录为$\mathrm{\Delta }{f}_{2avg}$。

​ BLE规定，在10个LE测试数据包上记录的所有∆f2最大频率值中，至少有99.9%大于185 kHz。也就是

$$\frac{\mathrm{\Delta }{f}_2}{\mathrm{\Delta }{f}_1}\ge 0.8$$

为了保证样本文档，应该保证多次采样，并且99%的采样结果都满足上面的要求。

小结

​ 对于$\mathrm{\Delta }{f}_1\mathrm{和}\mathrm{\Delta }{f}_2$，本质上表征了最好情况和最恶劣情况下的最大频偏。对于11110000这种序列，明显的可以看到高低频频点稳定，这时候的最大频偏应该是最好进行采样判断的；而对于10101010，则是最恶劣的情况，高低频点以最高频率进行切换，高低频点稳定时间短，导致采样难度上升。这里BLE的规定本质就是最差的频偏不能小于最好的频偏的80%。