正弦信号的有效值推导

前言

继续上次推导有效值的定义后，我们再来推导下常见的正弦信号的有效值

推导过程

上次我们已经推导出

$$I_{\mathrm{有}\mathrm{效}\mathrm{值}}=I_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{i}_{ac}(t{)}^{2}dt}$$

我们把$i_{ac}$变成正弦信号，即

$$i_{ac}=I_{max}sin(\omega )t$$

代入有效值公式，可得

$$I_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{I}_{max}{\sin }^2(\omega t)dt}$$

$$=\sqrt{\frac{I_{max}^2}{T}{\int }_0^T\frac{1-\cos (2\omega t)}{2}dt}$$

$$=\sqrt{\frac{I_{max}^2}{2T}({\int }_0^{T}dt-{\int }_0^T\cos (2\omega t)dt)}$$

$$=\sqrt{\frac{I_{max}^2}{2T}(T-0)}$$

$$=\sqrt{\frac{I_{max}^2}{2}}$$

$$=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\approx 0.707I_{max}$$

总结

由上述推导过程可得，对于正弦信号，他的均方根，即有效值为

$$I_{RMS}=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\approx 0.707I_{max}$$