Root mean square（RMS）均方根在电学上为什么叫有效值

前言

Root mean square（RMS）中文名也叫均方根。在物理上经常用某一个数学公式来带入实际物理意义，我们来分析下为什么用RMS来指代有效值。

正文

数学定义

均方根常见的定义一般用于离散序列，具体为n个项的平方和除以n再开方，即

$$rms=\sqrt{\frac{(x_0^2+x_1^2+x_2^2+....+x_n^2)}{n}}=\sqrt{\frac{\sum _{i=0}^n{x}_i^2}{n}}$$

而把他改成连续性方程就成了

$$rms=\sqrt{\frac{{\int }_0^{\tau }x(t{)}^{2}dx}{\tau }}$$

电学意义

一般来说，对于直流电$I_{DC}$,我们计算他在一定时间$t$内在某个电阻$R$上做的热功$W_{DC}$定义为

$$W_{DC}=I_{DC}^{2}Rt$$

如果电流为交流电$i_{ac}$，公式变为

$$W_{AC}={\int }_0^{\tau }{i}_{ac}(t{)}^{2}Rdt$$

因为做功就是做功，直流电交流电流经电阻都是在做热功，区别只是电流不同导致做的功大小不同。那么我们把$W_{AC}=W_{DC}$，使直流电做的热功等效交流电做的热功，来算算看做同样功时，交流电的电流和直流电的电流有什么关系

$$I_{DC}^{2}Rt={\int }_0^{\tau }{i}_{ac}(t{)}^{2}Rdt$$

把公式进行移项，可得

$$I_{DC}=\sqrt{\frac{{\int }_0^{\tau }{i}_{ac}(t{)}^{2}dt}{\tau }}$$

然后我们就发现了，这玩意和前面的数学的均方根形式上是一样的

总结

通过前面的推到，我们成功得出做同样功时，交流电的电流的均方根（RMS）和直流电的电流相同，即

$$I_{DC}=\sqrt{\frac{{\int }_0^{\tau }{i}_{ac}(t{)}^{2}dt}{\tau }}=I_{RMS}$$

同理，在功率$P_{AC}=P_{DC}$时也成立。那么我们就可以通过用交流电的电流均方根RMS来指代等效功率时的直流电的电流大小
为了区别于均方根这里纯数学概念，我们一般称其为电流有效值,同理电压的也叫电压有效值