算法笔记（七）：复杂度分析（一）
（一）渐进符号（这里暂时只考虑大O）
以输入规模n为自变量建立的时间复杂度实际上还是较复杂的，例如an2+bn+c,不仅与输入规模有关，还与系数a、b和c有关。此时对该函数进一步抽象，仅考虑运行时间的增长率或称为增长的量级，如忽略上式中的低阶项、高阶项的系数，仅考虑n2。当输入规模大到只与运行时间的增长量级有关的时，就是在研究算法的渐进效率。也就是说，从极限角度看，只关心算法运行时间如何随着输入规模的无限增长而增长。
大O记号的定义为：给定一个函数g(n),O(g(n)) = {f(n):存在正常数c和n0,使得对所有n>=n0,有0<=f(n)<=cg(n)}.O(g(n))表示一个函数集合，往往用该记号给出一个算法运行时间的渐进上届。
判断下面各式是否成立：
10n2+4n+2 = O(n2) -------- 成立
10n2+4n+2 = O(n) -------- 不成立
（二）示例
1、下面这段代码
1 def F(n): 2 sum = 0 3 i = 0 4 j = 1 5 sun = i + j 6 return sum
上面这段代码的时间复杂度就是O(1)，O(1)表示算法的执行时间总是常量（即1、2、3、4、5....10000行代码的的执行时间都是 O(1)，只要代码的执行次数是常量，它的复杂度就是 O(1)）
2、下面这段代码
1 def F(n): 2 sum = 0 3 for i in range(1,n+1): 4 sum = sum+i 5 return sum
假设第2行代码的执行时间是1,那么3、4行代码都执行了N遍（1、2、3....n），所以代码的执行时间是2n，代码的总执行时间就是2n+1，根据前面的说明，在大O表示法中，我们可以忽略掉公式中的常量、低阶项、高阶项的系数，所以代码的复杂度就是O(n)
3、 再看下面这段代码：
1 def F(n): 2 sum = 0 3 for i in range(1,n+1): 4 for j in range(1,n+1): 5 sum = sum+i*j 6 return sum
假设第二行代码执行时间是1，第3行执行时间是n,第4、5行的执行次数都是n2,所以执行时间是2n2。所以代码总的执行时间是T(N) = 1+n+2n2，同理，这段代码的时间复杂度是O(n2)
（三）总结下
总结一下，我们这里遇到下面三种情况
1、O(1) -----常量阶
O(1)表示算法的执行时间总是常量（即1、2、3、4、5....10000行代码的的执行时间都是 O(1)，只要代码的执行次数是确定的，它的执行次数就是 O(1)）
2、O(n) -----线性阶
O(n)表示一个算法的性能会随着输入数据n的大小变化而线性变化
3、O(n2) ----平方阶
O(n2)表示一个算法的性能将会随着输入数据n的增长而呈现出二次增长
另外还有2个没有说的就是对数（O(logN)）和非多项式，非多项式这里不考虑，对数阶算法复杂度分析，下篇说明。
（四）分析插入排序、简单选择排序的算法复杂度
1、插入排序
1 #插入排序 2 def insertSort(A): 3 for i in range(len(A)): 4 key = A[i] 5 j = i -1 6 while A[j] > key and j >=0: 7 A[j+1] = A[j] 8 j -= 1 9 A[j+1] = key 10 return A
（1）假设第3行代码的执行次数是n,那么4、5、9行代码的执行次数也是n，总共4n。
（2）第6、7、8行的执行次数就是n2（最坏的情况），总共是3n2
(3)所以算法的执行次数为 4n+3n2，即时间复杂度为O(n2)
2、简单选择排序
1 def selectSort(A): 2 #迭代列表的前n-1个元素 3 for i in range(len(A)-1): 4 k = i 5 for j in range(i+1,len(A)): 6 if A[k] > A[j]: 7 k = j #更新最小值的索引 8 #如果A[i]不是最小值，交换A[i],A[k]的值 9 if k != i: 10 A[k],A[i] = A[i],A[k] 11 return A
一样的道理，我们只需要关注代码执行次数最多的那段代码就行了，即第5行代码（n2），所以算法的时间复杂度也是O(n2)
