直方图中最大的矩形（笛卡尔树解决）

喵帕斯！

我们来换种思路。

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题目大意#

略略略~

分析#

假设我们已经会单调栈了，（如果不会可以去看看其他题解），所以单调栈的思想这里我就不再说了。

考虑使用笛卡尔树解决该问题。

什么是笛卡尔树？#

笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top kth查询等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。笛卡尔树结构由Vuillmin(1980)在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出。从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。（百度百科）

人话翻译如下：

概念：笛卡尔树是一种二叉树，每个节点有两个值$key$和$value$。

性质：

1. 堆的性质。笛卡尔树的树根是这一子树中$key$值最小（大）的元素，父节点的键值均小于（或大于）其左右子节点的键值，可以这样递归地弄下去。
2. 树的中序遍历即为原数组序列。

如图，这样就是一棵原序列的笛卡尔树。（可以结合之前讲的看一下）

构造笛卡尔树#

一般，我们规定按$key$为第一关键字排序，（很多时候，$key$值即为数组下标）。

用单调栈实时维护当前树中的最右链，模仿递归建树的过程（建虚树也是这种思想啊）。

以维护小根堆为例，在以$key$值增序排序后，我们考虑插入一个新点$i$，它的值为$V$。

我们从栈顶出发，一直找到第一个位置$pos$的$value$小于$V$，因为是小根堆，所以要保证$i$是$pos$的儿子，又因为当前的$key$值大于之前出现过的所有值，所以$i$是$pos$的右儿子，需要把原来$pos$的右儿子变成i的左儿子，代码注释里也有。

然后$O(n)$完成对笛卡尔树的构建。

本题的解决#

$key$值就是数组下标，无需排序，直接高度建树。

然后直接在树上从根节点往下走，每个节点的高度确定，所能扩展的长度即为它的子节点的区间长度，每走到一个节点就去个$max$，$O(n)$的遍历，总时间复杂度也是$O(n)$的（虽然有$2$这个常数$TAT$）。

注意多组数据的话，及时在回溯时初始化。

代码#

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Re register
#define ll long long
const int N = 100000 + 5;
const int INF = 0x7fffffff;
inline int read() {
    int res = 0; bool f = 0; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = 1; ch = getchar(); }
    while (ch <= '9' && ch >= '0') { res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return f ? (~ res + 1) : res;
}

ll ans;
int n, a[N];
inline ll max(ll a, ll b) { return a < b ? b : a; }

struct Cartesian_Tree {
    int sta[N], top, ls[N], rs[N], root;

    inline void init() {
        top = 0;

        for (Re int i = 1;i <= n; ++i) {
            /* 用栈来维护最右链，一直找到一个位置pos的a值会小于当前a值 */
            while (top && a[sta[top]] >= a[i]) ls[i] = sta[top--];
            /*
            因为是小根堆，所以要保证i是pos的儿子，又因为当前的key值大于之前出现
            过的所有值，所以i是pos的右儿子，需要把原来pos的右儿子变成i的左儿子
            */
            if (top) rs[sta[top]] = i;
            sta[++top] = i;
        }
        root = sta[1];
    }

    inline int dfs(int x) {
        if (!x) return 0;
        int res = dfs(ls[x]) + dfs(rs[x]) + 1;
        ls[x] = 0, rs[x] = 0;
        ans = max(ans, (ll)res * a[x]);
        return res;
    }
}CT;

int main(){
    while (1) {
        n = read();
        if (n == 0) break;
        for (Re int i = 1;i <= n; ++i) a[i] = read();
        CT.init();
        ans = 0;
        CT.dfs(CT.root);
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}