数论基础

一、基础概念（略）

质数

约数

同余

二、质数

A.质数筛法

暴力筛（略）

埃筛（\(O(nloglogn)\)）

inline void prim(int limit) {//埃筛 
	vis[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= limit; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			prims[++p_cnt] = i;
			for (int j = i * i;j <= limit; j += i) vis[j] = 1;
		}
	}
}

欧筛（\(O(n)\)）

inline void ola_prim(int limit) {//欧筛 
	vis[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= limit; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			vis[i] = i;
			prims[++p_cnt] = i;
		}			
		for (int j = 1;j <= p_cnt; ++j) {
			if (prims[j] > vis[i] || prims[j] > limit / i) break;
			vis[i * prims[j]] = prims[j];
		}
	}
} 

三、约数与同余

A.欧几里得算法

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

数学归纳法可推广到一般。

B.裴蜀定理

描述：
如果任意整数\(a\)和\(b\)不都为\(0\)，则\(gcd(a,b)\)是\(a\)与\(b\)的线性组合集\(\{ax+by:x,y\in Z\}\)中的最小正元素。

证明：
设\(s\)是线性组合集\(\{ax+by:x,y\in Z\}\)中的最小正元素，\(q=\lfloor a/s\rfloor\)。
所以必存在一组\(x,y\)使得\(ax+by=s\)。

所以\(a\%s=a-qs=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy)\)
因此\(a\%s\)也是\(a\)与\(b\)的一个线性组合。

由于\(s\)是这个线性组合中最小正数，所以\(a\%s=0\)。即\(s|a\)，同理，\(s|b\)，所以\(gcd(a,b)\ge s\)。

因为\(gcd(a,b)|s\)和\(s>0\)，所以\(gcd(a,b)\le s\)。
即\(gcd(a,b)=s\)。
得证。

C.扩展欧几里得算法

四、组合计数

A.加法和乘法原理

加法原理：做一件事情，完成它有\(n\)类方式，第一类方式有\(m_1\)种方法，第二类方式有\(m_2\)种方法，…，第\(n\)类方式有\(m_n\)种方法，那么完成这件事情共有\(m_1+m_2+……+m_n\)种方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……，做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法。那么完成这件事共有 \(m_1×m_2×m_3×…×m_n\)种不同的方法。

B.排列组合公式

全排列：\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=A_{n-1}^{m}+A_{n-1}^{m-1}*m\)

组合数：\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m\)

性质：

• \(\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n\)（根据意义去思考）
• \(\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=0\)
• \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
• \(C_{n+m}^r=\sum_{i=0}^rC_n^iC_m^{r-i}\)

C.二项式定理

\[(x+y)^n=C_n^0x^ny^0+C_n^1x^{n-1}y^1+...+C_n^{n-1}x^1y^{n-1}+C_n^nx^0y^n \]

可用数学归纳法证明。

D.容斥原理

交集相加减得并集。

E.斯特林数

• 第一类斯特林数：\(n\)个不同元素构成\(m\)个圆排列的数目。
  \(s_1(n,m)=s_1(n-1,m-1)+s_1(n-1,m)*(n-1)\)
• 第二类斯特林数：\(n\)个不同的元素拆分成\(m\)个集合的方案数。
  \(s_2(n,m)=s_2(n-1,m-1)+s_2(n-1,m)*m\)
• 贝尔数：集合划分的方案数。
  \(B_n=\sum_{i=1}^ns_2(n,i)=\sum_{k=0}^nC_n^kB_k\)

F.康托展开

\[ans=1+\sum_{i=1}^nA[i]*(n-i)! \]

\(A[i]\)：当前位置往后比当前位置数小的个数，可用树状数组求。

补充

进制转换（略）

球盒问题

有\(a\)个球，\(b\)个盒，求满足放置条件的方案数。

编号	球相同	盒相同	盒可为空	计算
\(1\)	×	√	×	\(s_2(a,b)\)
\(2\)	×	√	√	\(\sum_{i=1}^{b}s_2(a,i)\)
\(3\)	×	×	×	\(b!s_2(a,b)\)
\(4\)	×	×	√	\(b^a\)
\(5\)	√	√	×	\(dp[n][m]\)
\(6\)	√	√	√	\(dp[n+m][m]\)
\(7\)	√	×	×	\(C_{a-1}^{b-1}\)
\(8\)	√	×	√	\(C_{a+b-1}^{b-1}\)
说明：

表中\(s_2\)指的是第二斯特林数。

递推式：\(s_2(n,m)=s_2(n-1,m-1)+s_2(n-1,m)*m\)。

同时，贝尔数\(Bell_n=\sum_{i=1}^{b}s_2(a,i)\)。

情况\(5\)和\(6\)的递推式：\(dp[n][m]= dp[n-m][m]+ dp[n-1][m-1]\)。

简要分析如下：

1. \(n\)个不同的元素拆分成\(m\)个集合的方案数，等同于第二斯特林数。
2. 允许出现空集，所以\(\sum\)求和。
3. 容斥原理做，或者可以理解为因为盒子不同，所以直接乘上盒子的排列。
4. 最好理解：每个球有\(b\)种放法。
5. 这个问题等效成把一个数n拆成m个数，且先拆出的数不小于后拆出的数（避免重复情况）。如果这么拆：\(x_1+x_2+x_3+...+x_m=n (x_i>=1)\)。当\(x_1=1\)时，后面的拆法表示成\(dp[n-1,m-1]\)。当\(x_1>=2\)时，式子可以变成\((x_1-1)+(x_2-1)+...+(x_m-1)=n-m\)。所以后面的拆法表示成\(dp[n-m,m]\)。所以得到递推式。
6. 在情况\(5\)下，每盒先放一个。
7. 插板问题。
8. 同插板问题。