数论基础

一、基础概念（略）#

质数

约数

同余

二、质数#

A.质数筛法#

暴力筛（略）#

埃筛（$O(nloglogn)$）#

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inline void prim(int limit) {//埃筛 
	vis[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= limit; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			prims[++p_cnt] = i;
			for (int j = i * i;j <= limit; j += i) vis[j] = 1;
		}
	}
}

欧筛（$O(n)$）#

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inline void ola_prim(int limit) {//欧筛 
	vis[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= limit; ++i) {
		if (!vis[i]) {
			vis[i] = i;
			prims[++p_cnt] = i;
		}			
		for (int j = 1;j <= p_cnt; ++j) {
			if (prims[j] > vis[i] || prims[j] > limit / i) break;
			vis[i * prims[j]] = prims[j];
		}
	}
} 

三、约数与同余#

A.欧几里得算法#

$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$

数学归纳法可推广到一般。

B.裴蜀定理#

描述：
如果任意整数$a$和$b$不都为$0$，则$gcd(a,b)$是$a$与$b$的线性组合集$\{ax+by:x,y\in Z\}$中的最小正元素。

证明：
设$s$是线性组合集$\{ax+by:x,y\in Z\}$中的最小正元素，$q=\lfloor a/s\rfloor$。
所以必存在一组$x,y$使得$ax+by=s$。

所以$a\%s=a-qs=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy)$
因此$a\%s$也是$a$与$b$的一个线性组合。

由于$s$是这个线性组合中最小正数，所以$a\%s=0$。即$s|a$，同理，$s|b$，所以$gcd(a,b)\ge s$。

因为$gcd(a,b)|s$和$s>0$，所以$gcd(a,b)\le s$。
即$gcd(a,b)=s$。
得证。

C.扩展欧几里得算法#

四、组合计数#

A.加法和乘法原理#

加法原理：做一件事情，完成它有$n$类方式，第一类方式有$m_1$种方法，第二类方式有$m_2$种方法，…，第$n$类方式有$m_n$种方法，那么完成这件事情共有$m_1+m_2+……+m_n$种方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成$n$个步骤，做第一步有$m_1$种不同的方法，做第二步有$m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法。那么完成这件事共有 $m_1×m_2×m_3×…×m_n$种不同的方法。

B.排列组合公式#

全排列：$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=A_{n-1}^{m}+A_{n-1}^{m-1}*m$

组合数：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

性质：

• $\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n$（根据意义去思考）
• $\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=0$
• $C_n^m=C_n^{n-m}$
• $C_{n+m}^r=\sum_{i=0}^rC_n^iC_m^{r-i}$

C.二项式定理#

$$(x+y)^n=C_n^0x^ny^0+C_n^1x^{n-1}y^1+...+C_n^{n-1}x^1y^{n-1}+C_n^nx^0y^n$$

可用数学归纳法证明。

D.容斥原理#

交集相加减得并集。

E.斯特林数#

• 第一类斯特林数：$n$个不同元素构成$m$个圆排列的数目。
  $s_1(n,m)=s_1(n-1,m-1)+s_1(n-1,m)*(n-1)$
• 第二类斯特林数：$n$个不同的元素拆分成$m$个集合的方案数。
  $s_2(n,m)=s_2(n-1,m-1)+s_2(n-1,m)*m$
• 贝尔数：集合划分的方案数。
  $B_n=\sum_{i=1}^ns_2(n,i)=\sum_{k=0}^nC_n^kB_k$

F.康托展开#

$$ans=1+\sum_{i=1}^nA[i]*(n-i)!$$

$A[i]$：当前位置往后比当前位置数小的个数，可用树状数组求。

补充

进制转换（略）#

球盒问题#

有$a$个球，$b$个盒，求满足放置条件的方案数。

编号	球相同	盒相同	盒可为空	计算
$1$	×	√	×	$s_2(a,b)$
$2$	×	√	√	$\sum_{i=1}^{b}s_2(a,i)$
$3$	×	×	×	$b!s_2(a,b)$
$4$	×	×	√	$b^a$
$5$	√	√	×	$dp[n][m]$
$6$	√	√	√	$dp[n+m][m]$
$7$	√	×	×	$C_{a-1}^{b-1}$
$8$	√	×	√	$C_{a+b-1}^{b-1}$
说明：

表中$s_2$指的是第二斯特林数。

递推式：$s_2(n,m)=s_2(n-1,m-1)+s_2(n-1,m)*m$。

同时，贝尔数$Bell_n=\sum_{i=1}^{b}s_2(a,i)$。

情况$5$和$6$的递推式：$dp[n][m]= dp[n-m][m]+ dp[n-1][m-1]$。

简要分析如下：

1. $n$个不同的元素拆分成$m$个集合的方案数，等同于第二斯特林数。
2. 允许出现空集，所以$\sum$求和。
3. 容斥原理做，或者可以理解为因为盒子不同，所以直接乘上盒子的排列。
4. 最好理解：每个球有$b$种放法。
5. 这个问题等效成把一个数n拆成m个数，且先拆出的数不小于后拆出的数（避免重复情况）。如果这么拆：$x_1+x_2+x_3+...+x_m=n (x_i>=1)$。当$x_1=1$时，后面的拆法表示成$dp[n-1,m-1]$。当$x_1>=2$时，式子可以变成$(x_1-1)+(x_2-1)+...+(x_m-1)=n-m$。所以后面的拆法表示成$dp[n-m,m]$。所以得到递推式。
6. 在情况$5$下，每盒先放一个。
7. 插板问题。
8. 同插板问题。