【简●解】[SDOI2008] Sue的小球

计划着刷 $DP$ 题结果碰到了这样一道论文题，~~幸好不是太难~~。

【题目大意】#

口水话有点多，所以就直接放链接。传送门

【分析】#

看到题首先联想到了曾经做过的关路灯。所以先按 $x$ 值排序，然后进行区间 $DP$ 。

不妨设 $f_1[i][j]$ ， $f_2[i][j]$ 分别表示从起点出发已射落 $i$ 到 $j$ 这一段彩蛋，当前停留在 $i$ 点, $j$ 点的最大得分 $v$ 。

考虑 $f_1[i][j]$ ,即点 $i$ 是当前射击的彩蛋，射击的得分与当前时刻挂钩，但是当前的时刻是不能从 $f_1[i][j]$ 的状态中表示出来的，我们进一步考虑 $f_1[i][j]$ 的求解。

由于射击 $i$ 的得分是 $y_i−t∗v_i$ ，而 $t$ 等于之前每一步决策移动的时间总和，这样我们就可以把 $t∗v_i$ 在之前的移动中就计算，也就是说每次移动都要把未来会减少的得分计算在内。比如说从 $f_1[i+1][j]$ 推到 $f_1[i][j]$ ，即从 $i+1$ 走到 $i$ 时除了 $i+1$ 到 $j$ 这一段彩蛋外，其它的彩蛋都在下落，将这丢失的分数一并计算到从 $i+1$ 走到 $i$ 中。由于 $-t*v_i$ 已经在之前决策时计算，所以射击时直接加上 $y_i$ 即可。

所以可以先用 $sum[]$ 计算 $v_i$ 的前缀和，然后 $DP$ 方程：

f_{1} [i] [j] = y [i] + m a x (f_{1} [i + 1] [j] + S u m (i + 1, j) * (x_{i + 1} - x_{i}), f_{2} [i + 1] [j] + S u m (i + 1, j) * (x_{j} - x_{i})

$f_1[i][j]=y[i]+max(f_1[i+1][j]+Sum(i+1,j)*(x_{i+1}-x_i),f_2[i+1][j]+Sum(i+1,j)*(x_j-x_i)$

f_{2} [i] [j] = y [i] + m a x (f_{1} [i] [j - 1] + S u m (i, j - 1) * (x_{j} - x_{i}), f_{2} [i] [j - 1] + S u m (i, j - 1) * (x_{j} - x_{j - 1})

$f_2[i][j]=y[i]+max(f_1[i][j-1]+Sum(i,j-1)*(x_{j}-x_{i}),f_2[i][j-1]+Sum(i,j-1)*(x_j-x_{j-1})$

然后 $O(n^2)$ 过。

【Code】#

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAX = 1000 + 5; 
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read(){
	int f = 1, x = 0;char ch;
	do { ch = getchar(); if (ch == '-') f = -1; } while (ch < '0'||ch>'9');
	do {x = x*10+ch-'0'; ch = getchar(); } while (ch >= '0' && ch <= '9'); 
	return f*x;
}
int n, bj;
double x0, f[3][MAX][MAX], sum[MAX];
struct sakura { double x, y, v; }sak[MAX];
inline bool cmp(sakura a, sakura b) { return a.x < b.x; }
inline double Sum(int l, int r) { return sum[n] - sum[r] + sum[l - 1]; }
inline double ab(double a) { return a < 0 ? -a : a; }
int main(){
	n = read(); ++n, x0 = read(); 
	sak[1].x = x0, sak[1].y = sak[1].v = 0;
	for (int i = 2;i <= n; ++i) {
		sak[i].x = read();
	}
	for (int  i = 2;i <= n; ++i) {
		sak[i].y = read();
	}
	for (int i = 2;i <= n; ++i) {
		sak[i].v = read(); 
	}
	sort(sak + 1, sak + 1 + n, cmp);
	for (int i = 1;i <= n; ++i) {
		sum[i] = sum[i - 1] + sak[i].v;
		if (ab(sak[i].x - x0) <= 1e-10 && ab(sak[i].y) <= 1e-10) {
			bj = i;
		}
	}
	memset(f, -INF, sizeof (f));
	f[1][bj][bj] = f[2][bj][bj] = 0.0;
	for (int k = 1;k <= n; ++k) {
		for (int i = 1;i + k <= n; ++i) {
			int j = i + k;
			f[1][i][j] = sak[i].y + max(f[1][i + 1][j] - (sak[i + 1].x - sak[i].x) * Sum(i + 1, j), f[2][i + 1][j] - (sak[j].x - sak[i].x) * Sum(i + 1, j));
			f[2][i][j] = sak[j].y + max(f[1][i][j - 1] - (sak[j].x - sak[i].x) * Sum(i, j - 1), f[2][i][j -1] - (sak[j].x - sak[j - 1].x) * Sum(i, j - 1)); 
		}
	}
	printf("%.3lf", max(f[1][1][n], f[2][1][n]) / 1000.0);
	return 0;
}