【简●解】[AHOI2009]中国象棋

【题目大意】#

叫你在$n×m$的棋盘上放若干个炮(可以是0个)，使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，问有多少种放置方法。

【关键词】#

• $DP$
• 分类讨论
• 乘法和加法原理

【分析】#

仔细观察就会发现，棋盘中每行，每列只有放$0$，$1$，$2$个三种方案。如果我们把状态量设为列，那么知道任意两种方案的列数，即可用总列数减去它得到另一种方案的列数。

我们设状态方程：$f[i][j][k]$，表示的是前$i$行，其中$j$列有$1$个棋子，$k$列有$2$个棋子的总方案数。

那么对于行的转移，我们有三种情况。

1. 在第$i$行不放棋子。
2. 在第$i$行放$1$个棋子。
3. 在第$i$行放$2$个棋子。

• 不放棋子，即$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$。

• 放$1$个棋子，又分两种情况:

  • 放在有$1$个棋子的列上，$j+1$列都可以放。即$f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)$。
  • 放在没有棋子的列上，$m-(j-1)-k$列都可放。即$f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)$

• 放$2$个棋子，分三种情况:

  • $2$个都放在没有棋子的列上。即$f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C_{m-(j-2)-k}^{2}$。
  • $2$个都放在有$1$个棋子的列上。即$f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C_{j+2}^2$。
  • $1$个放在没有棋子的列上，另一个放在有$1$个棋子的列上。即$f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)$。

然后就可以$A$掉了，哦，记得开$long long$。。。

【Code】#

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#pragma GCC optimize("O3")
#pragma GCC optimize("O2")
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
const int MAX = 100 + 5;
const int mod = 9999973;
inline int read(){
	int f = 1, x = 0;char ch;
	do { ch = getchar(); if (ch == '-') f = -1; } while (ch < '0'||ch>'9');
	do {x = x*10+ch-'0'; ch = getchar(); } while (ch >= '0' && ch <= '9'); 
	return f*x;
}
inline ll c(ll x) {
	return (x * (x - 1) / 2) % mod;
}
int n, m;
ll f[MAX][MAX][MAX], ans;
int main(){
	n = read(), m = read();
	f[0][0][0] = 1;
	for (R int i = 1;i <= n; ++i) {
		for (R int j = 0;j <= m; ++j) {
			for (R int k = 0;k <= m - j; ++k) {
				f[i][j][k] = f[i-1][j][k];
				if (k > 0) {
					f[i][j][k] += (f[i-1][j+1][k-1] * (j+1)) % mod;
					f[i][j][k] %= mod;
					
					f[i][j][k] += (f[i-1][j][k-1] * j * (m-j-k+1)) %mod;
					f[i][j][k] %= mod;
				}
				if (j > 0) {
					f[i][j][k] += (f[i-1][j-1][k] * (m-j-k+1)) %mod;
					f[i][j][k] %= mod;
				}
				if (k > 1) {
					f[i][j][k] += (f[i-1][j+2][k-2] * c(j+2)) % mod;
					f[i][j][k] %= mod;
				}
				if (j > 1) {
					f[i][j][k] += (f[i-1][j-2][k] * c(m-j-k+2)) % mod;
					f[i][j][k] %= mod;
				}
			}
		}
	}
	for (R int i = 0;i <= m; ++i) {
		for (R int j = 0;j <= m; ++j) {
			ans += f[n][i][j];
			ans %= mod;
		}
	}
	printf("%lld", (ans + mod) % mod);
	return 0;
}