【简●解】POJ 1845 【Sumdiv】

【题目大意】

给定\(A\)\(B\),求\(A^B\)的所有约数之和,对\(9901\)取模。
(对于全部数据,\(0<= A <= B <=50,000,000\)

【算法关键词】

  • 数论
  • 综合模板
  • 二分,乘法逆元

【分析】

不管什么题首先思考的肯定是暴力解法。起码可以骗分啊,当然,如果能一眼标算,那再好不过了。
这道题暴力做法就不说了,其实仔细思考也不会真的打暴力吧。。。

看见约数,首先想到的应该就是数论的有关知识。那么这道题实际上就是在求\(A^B\)的约数之和,问题的难点就在于求解答案的时间优化。

首先,可以思考唯一分解定理,即任意一个自然数都可分解且只能分解成以下形式:

\[n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}*...*p_m^{k_m} \]

其中,\(p\)为质因数,\(k\)为自然数。

那如何实现呢?

首先通过线性筛把题目范围内的质数筛出来存在一个数组里,然后枚举数组里的质数是否能被\(A\)整除,即枚举\(p\),如果能,就以\(p\)为底枚举\(k\),并存入相对应的数组。

于是就可分解为:

\[A^B=p_1^{k_1*B}*p_2^{k_2*B}*p_3^{k_3*B}*...*p_m^{k_m*B} \]

\(a\)所有约数和为\(ans(a)\)
对于两个互质的数\(a\),\(b\),必定有\(ans(ab)=ans(a)*ans(b)\):

\(a\)约数为\(x_1\),\(x_2\)...\(x_m\)\(b\)约数为\(y_1\),\(y_2\),...\(y_n\)
\(a\),\(b\)互质,\(a_1->a_m\)\(b_2->b_n\)无公共元素
那么

\[ans(ab)=\sum_{i=1,j=1}^{i<=m,j<=n}x_i*y_j\\ \quad=\sum_{i=1}^{m}x_i*\sum_{j=1}^{n}y_j\\ =ans(a)*ans(b) \]

得证 这不是积性函数的性质吗

同理,\(p_i^{k_i*B}\)\(p_j^{k_j*B}\)互质
所以:

\[ans(A^B)=\prod_{i=1}^msum_i \]

其中:

\[sum_i=\sum_{j=0}^{k_i*B}p_i^j \]

即:

\[ans(A^B)=\prod_{i=1}^{m}\sum_{j=0}^{k_i*B}p_i^j \]

(理解不透彻的可以把这个拆开看看)

公式推到这里,其实就可以写代码了,在这里,还要注意\(sum_i\)的计算。

\[sum_i=p_i^0+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{k_i} \]

这里有两种方法。

  1. 二分+递归思想
    \(k_i\)为奇数:

\[sum(p, k) = sum(p, k/2)*(1+p^{n/2+1}) \]

\(k_i\)为偶数:

\[sum(p, k) = sum(p, k/2-1)*(1+p^{n/2+1})+p^{n/2} \]

证明的话可以把上面的式子拆开来看,这里不再赘述。

  1. 等比数列通项公式

\[sum(p, k) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1} \]

当然,如果在模的意义下这样做就需要乘法逆元的相关知识,这里就只给出法一的代码。法二的代码可以自己尝试下。其实是因为我懒

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define debug() puts("FBI WARNING!")
#define ll long long
#define R register

using namespace std;

/*常量申明*/ 
const int MAX = 500000;
const int BIG_SEVEN = 777777;
const int MEIZI = 100000;
const int mod = 9901;
/*函数申明*/ 
void ola(); void test(); void divide(); void cls();void solve();
ll binary_pow(ll, ll); ll sum(ll, ll); ll read();
/*变量申明*/ 
ll a, b, s, prim[BIG_SEVEN], p[MEIZI], k[MEIZI];
bool vis[MAX + 5];
int cnt, tot;

int main(){
    ola();
    while (~scanf("%lld %lld", &a, &b)) {
        cls();
        divide();
        solve();
        //test();
    }
    return 0;
}

inline ll read(){ // 快读 (貌似没用上) 
    ll f = 1, x = 0;char ch;
    do { ch = getchar(); if (ch == '-') f = -1; } while (ch < '0'||ch>'9');
    do {x = x*10+ch-'0'; ch = getchar(); } while (ch >= '0' && ch <= '9'); 
    return f*x;
}

inline void ola() { // 欧拉筛 
    vis[1] = 1;
    for (R int i = 2;i < MAX; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            prim[cnt++] = i;
        }   
        for (R int j = 0;j < cnt ; ++j) {
            if (i*prim[j] > MAX) break;
            vis[i*prim[j]] = 1;
            if (i%prim[j] == 0) break;
        }
    }
}

inline void cls() {tot = 0, cnt = 0;} // 多组数据初始化  

inline void divide() { // 唯一分解定理  
    memset(k, 0, sizeof(k));ll rose = a;
    for (R int i = 0; prim[i] <= rose/prim[i]; ++i) {
        if (rose%prim[i] == 0) {
            p[tot] = prim[i];
            while (rose%prim[i] == 0) {
//              debug();
                k[tot]++;
                rose /= prim[i];
            }
            tot++;
        }
    }
    if (rose != 1) {
        p[tot] = rose;
        k[tot++] = 1;
    }
}

inline void solve() { // 累加答案 
    ll ans = 1;
    for (R int i = 0; i < tot; ++i) {
        ans *= (sum(p[i], b*k[i]) %mod);
        ans %= mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

inline void test() { // 测试函数 
/*check ola()*/
    for (R int i = 0;i < cnt; ++i) {
        cout << prim[i] << " ";
    }
    printf("%.2lf\n",(double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);

/*check divide()*/
    for (R int i = 0;i < tot; ++i) {
        printf("%lld^%lld\n", p[i], k[i]); 
    }
    cout << tot;
}

inline ll binary_pow(ll a, ll b) { // 二进制实现的快速模幂 
    ll ans = 1, tmp = a%mod;
    while (b) {
        if (b&1) {ans *= tmp; ans %= mod;}
        b >>= 1;
        tmp *= tmp; tmp %= mod;
    }
    return ans;
}

inline ll sum(ll p, ll k) { // 约数和二分实现(p^0+p^1+...+p^k) 
    if (p == 0) return 0;
    if (k == 0) return 1;
    if (k & 1) return ((1+binary_pow(p, k/2+1)) %mod * sum(p, k/2) %mod) %mod; // 奇数  
    else return ((1+binary_pow(p, k/2+1)) %mod*sum(p, k/2-1) + binary_pow(p, k/2) %mod) %mod;
}
posted @ 2019-02-16 18:57  SilentEAG  阅读(252)  评论(0编辑  收藏  举报