二分图最佳匹配 - silencExplode

（转）KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
　　若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
　　初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

POJ 2195

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2195

HDU 1533

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1533

第一道二分图最佳匹配题，简单题，会二分最佳的这题也就会。就建图的时候要把距离算出来！

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int n,m;
int num1,num2;
char map[150][150];  //初始输入
int mat[150][150];  //记录距离
int house[150][2];  //房子坐标
int man[150][2];  //人的坐标
int pl[150],pr[150];  //左右顶标
int visl[150],visr[150];  //是否被访问
int match[150]; //匹配
int stack[150];

int Min(int a,int b)
{
    return a>b?b:a;
}

bool find(int a)  // 找增广路径
{
    int i;
    visl[a] = 1;
    for(i=0;i<num2;i++)
    {
        if(visr[i] == 0)
        {
            int val = pl[a] + pr[i] - mat[a][i];
            if(val == 0)
            {
                visr[i] = 1;
                if(match[i] == -1 || find(match[i]))
                {
                    match[i] = a;
                    return 1;
                }
            }
            else
            {
                if(val < stack[i])
                    stack[i] = val;
            }
        }
    }

    return 0;
}

int km()
{
    int i,j,k;
    //初始化顶标
    for(i=0;i<num1;i++)
    {
        pl[i] = -0x7ffffff;
        pr[i] = 0;
        for(j=0;j<num2;j++)
        {
            if(mat[i][j] > pl[i])
                pl[i] = mat[i][j];
        }
    }

    memset(match,-1,sizeof(match)); 
    for(k=0;k<num1;k++)
    {
        for(i=0;i<150;i++)
            stack[i] = 0x7fffffff;
        
        while(1)
        {
            memset(visl,0,sizeof(visl));
            memset(visr,0,sizeof(visr));
            if(find(k))
                break;
    
            int d = 0x7ffffff;
            for(j=0;j<num2;j++)
            {
                if(!visr[j])                        
                    d = Min(stack[j] , d);
            }
            

            for(i=0;i<num1;i++)
            {
                if(visl[i])
                    pl[i] -= d;
                if(visr[i])
                    pr[i] += d;
            }
        }
    }

    int sum = 0;
    for(i=0;i<num1;i++)
    {
        sum += -1 * mat[match[i]][i];
    }

    return sum;
}
void Init()
{
    int i,j;
    num1 = 0;  //房子个数
    num2 = 0;  //人的个数
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>map[i];
        for(j=0;j<m;j++)
        {
            if(map[i][j] == 'H')
            {
                house[num1][0] = i;
                house[num1++][1] = j;
            }
            if(map[i][j] == 'm')
            {
                man[num2][0] = i;
                man[num2++][1] = j;
            }
        }
    }
    for(i=0;i<num1;i++)
    {
        for(j=0;j<num2;j++)
        {
            mat[i][j] = abs(house[i][0] - man[j][0]) + abs(house[i][1] - man[j][1]);
            mat[i][j] = - mat[i][j]; //因为是取最小权值，所以取反
        }
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF && (n!=0 || m!=0))
    {
        Init();
        printf("%d\n",km());
    }
    return 0;
}

HDU 3488

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3488

题目出的比较隐藏，我记得当时我做的时候根本想不到是二分图最佳匹配，如果明白是二分图的话，还是很容易能理解的，就是一个最佳匹配！

需要注意的一点是该题求的是最小值，先吧每条边取反，求最佳匹配，输出的时候再取反回来！

代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define min(a,b) (a>b?b:a);

const long maxn = 205;
const long inf = 1000000000;
int n,m; //n：点数 m：边数
int nl,nr;
int pl[maxn],pr[maxn]; //左右顶标
int map[maxn][maxn];
int match[maxn]; //匹配边
int stack[maxn];
bool visl[maxn],visr[maxn];

void Init()
{
    int i,j;
    int a,b,c;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    nl = nr = n;
    for(i=0;i<maxn;i++)
        for(j=0;j<maxn;j++)
            map[i][j] = inf;

    
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if(c < map[a][b])
        {
            map[a][b]  = c;
        }
    }

    for(i=1;i<=nl;i++)
    {
        for(j=1;j<=nr;j++)
            map[i][j] *= -1;
    }
}

bool find(int dir)
{
    int i,j;
    visl[dir] = 1;

    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(0 == visr[i])
        {
            int val = pl[dir] + pr[i] - map[dir][i];

            if(0 == val)
            {
                visr[i] = 1;
                if(match[i] == -1 || find(match[i]))
                {
                    match[i] = dir;
                    return true;
                }
            }
            else
            {
                if(val < stack[i])
                    stack[i] = val;
            }
        }
    }

    return false;
}

void KM()
{
    int i,j,k;

    /*初始化顶标*/
    for(i=1;i<=nl;i++)
    {
        pl[i] = -inf;
        pr[i] = 0;
        for(j=1;j<=nr;j++)
        {
            if(map[i][j] > pl[i])
                pl[i] = map[i][j];
        }
    }

    memset(match,-1,sizeof(match));

    for(k=1;k<=nl;k++) //左边的点
    {
        fill(stack,stack+maxn,inf);

        while(1)
        {
            memset(visl,0,sizeof(visl));
            memset(visr,0,sizeof(visr));

            if(find(k))
                break;

            int d = inf;

            for(i=1;i<=nr;i++)
            {
                if(0 == visr[i])
                {
                    d = min(stack[i],d);
                }
            }

            for(i=1;i<=nl;i++)
                if(1 == visl[i])
                    pl[i] -= d;

            for(i=1;i<=nr;i++)
                if(1 == visr[i])
                    pr[i] += d;
        }
    }
}

void Print()
{
    int sum = 0;
    int i;
    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(match[i] != -1)
            sum += -1 * map[match[i]][i];
    }

    printf("%d\n",sum);
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        Init();
        KM();
        Print();
    }
    return 0;
}

HDU 2448

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2448

最短路径+二分匹配

先求出每条船所在的采矿点跟所有港口的最短距离，然后对这个图进行二分最佳匹配就行！

注意一点：因为船进入港口之后就不会再出来，所以输入时采矿点的港口的距离是单向的

代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define min(a,b) (a>b?b:a)
typedef int elem_t;
const long maxn = 310;
const long inf = 1000000000;
int n,m,p,q;  //n个港口，m个采矿点
int dir[maxn]; //船一开始停留的位置
int map[maxn][maxn];  //初始图，1 - n 表示港口， n+1 - n+m 表示采矿点
int Min[maxn][maxn]; //各个点的最短记录
int pre[maxn][maxn]; //路径保存，这题没用

int nl,nr;
int pl[maxn],pr[maxn];  //左右顶标
bool visl[maxn],visr[maxn];  //X和Y是否被访问
int mat[maxn][maxn]; //建立起来的二分图
int match[maxn];  //Y中与X的匹配关系
int stack;  //最小d值

void Init()
{//原图的输入
    int i,j;
    int a,b,c;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&dir[i]);
        dir[i] += n;
    }

    for(i=0;i<maxn;i++)
        for(j=0;j<maxn;j++)
            map[i][j] = inf;
    
    for(i=1;i<=p;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        {
            a += n;
            b += n;
            if(c < map[a][b])
                map[a][b] = map[b][a] = c;  //这里是双向的
        }
    }

    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        b += n;
        if(c < map[b][a])
            map[b][a] = c; //就是这里，应该是单向的
    }
}

//floyd求最短距离
void floyd_warshall(int n,elem_t mat[][maxn],elem_t min[][maxn],int pre[][maxn]){
    int i,j,k;
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            min[i][j]=mat[i][j],pre[i][j]=(i==j)?-1:i;
    for (k=1;k<=n;k++)
        for (i=1;i<=n;i++)
            for (j=1;j<=n;j++)
                if (min[i][k]+min[k][j]<min[i][j])
                    min[i][j]=min[i][k]+min[k][j],pre[i][j]=pre[k][j];
}

void _Init()
{//对二分图的建图
    int i,j;
    nl = nr = n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            mat[i][j] = Min[dir[i]][j];
        }
    }

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
            mat[i][j] *= -1;
    }
}

bool find(int a)
{
    int i,j;
    visl[a] = 1;

    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(0 == visr[i])
        {
            int val = pl[a] + pr[i] - mat[a][i];

            if(0 == val)
            {
                visr[i] = 1;
                if(-1 == match[i] || find(match[i]))
                {
                    match[i] = a;
                    return true;
                }
            }
            else
            {
                if(val < stack)
                    stack = val;
            }
        }
    }

    return false;
}
void KM()
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=nl;i++)
    {
        pl[i] = -1 * inf;;
        pr[i] = 0;
        for(j=1;j<=nr;j++)
        {
            if(mat[i][j] > pl[i])
                pl[i] = mat[i][j];
        }
    }

    memset(match,-1,sizeof(match));
    for(j=1;j<=nl;j++)
    {
        stack = inf;
        while(1)
        {
            memset(visl,0,sizeof(visl));
            memset(visr,0,sizeof(visr));

            if(find(j))
                break;

            int d = stack;

            for(i=1;i<=nl;i++)                
                if(1 == visl[i])                    
                    pl[i] -= d;    

            for(i=1;i<=nr;i++)               
                if(1 == visr[i])                   
                    pr[i] += d;
        }
    }
}

void Print()
{
    int i;
    int sum = 0;
    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(match[i] != -1)
            sum += -1 * mat[match[i]][i];
    }

    printf("%d\n",sum);
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q)!=EOF)
    {
        Init();
        floyd_warshall(n+m,map,Min,pre);
        _Init();
        KM();
        Print();
    }
    return 0;
}

HDU 3722

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3722

简单二分最佳匹配

HDU 2426

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2426

也是一道简答的二分匹配题，初始化时把为负值的不要输入就行！

但这题数据量大了一点，我如果用Lost的那个模板，用stack而不用stack数组拿来优化的话就会超时！

代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define min(a,b) (a>b?b:a)
const long maxn = 505;
const long inf = 1000000000;

int cas = 0;
int E;
int nl,nr;
int pl[maxn],pr[maxn];  //左右顶标
bool visl[maxn],visr[maxn];  //X和Y是否被访问
int mat[maxn][maxn]; //建立起来的二分图
int match[maxn];  //Y中与X的匹配关系
int stack[maxn];  //最小d值

void Init()
{
    int i,j;
    int a,b,c;

    for(i=0;i<maxn;i++)
        for(j=0;j<maxn;j++)
            mat[i][j] = -inf;

    for(i=0;i<E;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if(c >= 0)
        {
            a += 1;
            b += 1;
            mat[a][b] = c;
        }
    }
}

bool find(int a)
{
    int i,j;
    visl[a] = 1;

    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(0 == visr[i])
        {
            int val = pl[a] + pr[i] - mat[a][i];

            if(0 == val)
            {
                visr[i] = 1;
                if(-1 == match[i] || find(match[i]))
                {
                    match[i] = a;
                    return true;
                }
            }
            else
            {
                if(val < stack[i])
                    stack[i] = val;
            }
        }
    }

    return false;
}

void KM()
{
    if(E == 0)
        return;
    int i,j;
    for(i=1;i<=nl;i++)
    {
        //pl[i] = -1 * inf;
        pl[i] = 0;
        for(j=1;j<=nr;j++)
        {
            if(mat[i][j] > pl[i])
                pl[i] = mat[i][j];
        }
    }
    for(i=1;i<=nr;i++)
        pr[i] = 0;

    memset(match,-1,sizeof(match));
    
    for(j=1;j<=nl;j++)
    {
        fill(stack,stack+maxn,inf);
        while(1)
        {
            memset(visl,0,sizeof(visl));
            memset(visr,0,sizeof(visr));

            if(find(j))
                break;

            int d = inf;
            for(i=1;i<=nr;i++)
            {
                if(visr[i] == 0)
                {
                    d = min(stack[i],d);
                }
            }

            for(i=1;i<=nl;i++)                
                if(1 == visl[i])                    
                    pl[i] -= d;    

            for(i=1;i<=nr;i++)   
            {
                if(1 == visr[i])                   
                    pr[i] += d;
                //else
                    stack[i] -= d;
            }
        }
    }
}

void Print()
{
    int i;
    int sum = 0;
    int sumt = 0;
    printf("Case %d: ",++cas);

    for(i=1;i<=nr;i++)
    {
        if(match[i] != -1 && mat[match[i]][i] != -inf)
        {
            sumt++;
            sum += mat[match[i]][i];
        }
    }
    if(sumt < nl)
    {
        sum = -1;
    }

    printf("%d\n",sum);
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&nl,&nr,&E) != EOF)
    {
        Init();
        if(E == 0)
        {
            printf("Case %d: ", ++cas);
            printf("-1\n");
            continue;
        }

        KM();
        Print();
    }
}

发表于 2010-12-12 00:01 silencExplode 阅读(640) 评论(1) 编辑收藏举报