10/01

洛谷集训 Day 1.

秋假过得太摆了，今天写完作文要自律了。

单调数据结构

CF280B

有最大值，可以想哪里是最大值，钦定一下。

但次大值太多了，于是变成枚举次大值。直接单调栈维护最大值在哪里就行了。

总结：如果涉及最值，就可以考虑最值的位置。其实和笛卡尔树是相通的。

CF1407D

第一种情况太 naive 了。

第二三种有 \(\max\)，于是可以先分讨 \(h_i, h_j\) 的大小关系。

分讨完直接就是个单调栈的形式了。弹栈的时候进行一个 dp 的转移。

ABC352D

超级大水题，一眼秒掉。

唯一的好处是发现用 set 做滑动窗口应该码量很小！

CF1195E

一眼秒二维单调队列。

贪心

可以每一步最优（归纳法）或 exchange argument（交换就不优了）。

P1080 国王游戏

我觉得高精度比贪心难。

ABC236F

贪心 + 线性基维护不难想。

证明的话，如果能被异或出来，肯定不加；否则异或有自反性，如果能插还不插一定亏了。

CF1552E

\(\lceil n / (k - 1) \rceil\) 是抽屉原理。然后讲一个不是抽屉的做法？？？

好吧，还是抽屉。每次构造 \(k - 1\) 个互不相交的区间，这样只有 \(\lceil n / (k - 1) \rceil\) 层，刚刚好。

证明可以归纳。

感觉还是有点困难。

倍增

自底向下，翻倍扩大。

两种典型的倍增：跳步型倍增，结构清晰，典例是倍增 LCA；拆分型倍增，经常是二进制拆分 / 按位贪心，典例是 ST 表。

CF1142B

不难。

注意到循环匹配就是跳到下一个，于是这就可以倍增跳（到这里已经可以，但实际上就是树的 \(m\) 级祖先，直接做即可）。

然后我们看一下跳到哪里才够深度为 \(m\)，ST 表区间查询即可（由于 \(need_i \ge i\)，所以这也不用，直接后缀 \(\min\) 即可）。

%%% \(\textsf{S\red{Serxhs}}\) %%%

CF932D

题意翻成人话：动态加叶子，有点权，求到根的路径上，点权如果能不减就必须选个点，且和 \(\le X\) 的最长的链。

并不是非常难。

CF1848F

第一肯定有解，第二变成 \(0\) 后就不变了，因此倍增到 \(0\) 就可以更小。

分治

THUPC2021 线段树

感觉讲得和代码完全不一样？

是这样的，考虑每个节点的儿孙们的贡献，于是就有了分治的做法。

感觉说不清楚，看题解去。

CF1045G

先按照视野排序，这样只用管视野小看视野大的了。

算了好像后面忘记听了（

10/02

模拟赛 #1. \(100+60+0+0=160\)，B 的大模拟写吐了，以至于 200 都没上/ll

10/06 和 10/13 我要 200+pts！/fendou

数据其实有点弱，我的复杂度不对的多源洪水填充都没 T，正确写法是一次性全加进去，怎么我这都忘记了！

大模拟最好到最后写。这把被打磨光滑了……

听 C 的时候学到了一个 DP 考虑方法：DP 就是有向无环图，于是就有了倒着做这样的优化。而这题的特征是终点不变，起点在变，于是就可以倒过来了。

D 题的 DP 优化是只关心差值的话不用记具体数值，记差值就行了。另外一个 shuffle 的技巧是真的没见过……

10/03

昨天的题不太想补，就写了个大模拟，竟然 1h 一遍过。

大模拟，需要头脑冷静，不急不躁，想明白程序结构，尽量做好模块化。最好最后写。

由于不想补题，于是搞了个 ABC373G 看看，学到调整法。

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数据结构。

二叉堆

超级钢琴

早就做了。

P10977

朴素 \(O(n^2)\) DP 不难。

注意到 \(\forall i < j, dp_i \le dp_j\)。因为把 \(j\) 的方案放到 \(i\) 一定不增。（感觉这个性质的观察太玄学了）

于是，我们就要考虑 成为后缀最大值的下标 所在的 DP 状态这些决策点。

这不就是单调队列吗？维护单调队列里的值形成的堆即可，不过要可删。

并查集

P10350 PA2024

好难啊/fad

抽象，不好说，自己写了看代码去。

P9565 SDCPC2023

与其实就是要某一位全是 \(1\)，这不由得让我们想到并查集。

于是太简单了。把 \(V\) 的某个 \(0\) 位改成 \(1\)，或 \(V\)，以这个中的某个为前缀的边的路径肯定可以的，直接并查集维护。

哎呀太难表述了，自己看代码去。

P8026 ONTAK2015

很明显是要每个图里两个点的并查集祖先相同，怎么快速判断？

——哈希。

为了避免哈希修改次数过多，并查集采用启发式合并。哈希值用个什么 STL 即可。

树状数组 & 线段树

P3801

简单题，维护行列操作奇偶性。

P7764 COCI2016-2017 #5

\莫队/\莫队/\莫队/\莫队/\莫队/

扫描线，可以把之前的变成负数，这样刚好贡献抵消。但肯定没莫队无脑又好写！

P9561 SDCPC2023

套路的扫描线，然后似懂非懂……

感觉还是听懂了，下一题大概就不会了……

P5524 Ynoi2012

一不留神电脑卡忘记听了……

Trie

P2536 AHOI2005

字典树上走啊走，* 走子树 ? 走儿子。

dfs + 记忆化。

P9694 GDCPC2023

就，一层一层往下走，看看能不能走，有点类似线段树分治的感觉，不过是棵 Trie。

不难。

P7537 COCI2016-2017 #4

大水题。

倒过来插，题意要求 Trie 上最长连续段，随便树形 DP。

押韵的条件是父子或兄弟。

10/04

图论。

LCA

P4281 AHOI2008

大水题。

直径

实际上，路径按照 LCA 分类是不要太常用的方法。

P6845 CEOI2019

先明确一下我们在求啥：\(\max_{u, v} d_u + d_v - 2d_{lca(u, v)}\)。

对于 \(u, v\)，LCA 在欧拉序的中间，于是原式等价于 \(\max_{u, v}(d_u + d_v - 2 \min_{w \in [u, v]} d_w\)。（差不多这个意思）

最短路

P6190 NOI Online #1

\(n = 100\) 提示矩阵乘法。（不止是提示 Floyd）

可以用 \(c_{i, j} = \min_{k = 1}^n a_{i, k} + b_{k, j}\) 的矩阵刻画最短路。

答案肯定是一段最短路加个负权边，然后就是搞矩阵乘法。

P1266

这题好怪啊，速度怎么这么小？（难道开车速度上天？）

于是就可以化动态边权为静态，每个点拆出 \(500\) 个来建边，直接 Game Over。

拆点 / 分层增加维护的信息。这样的操作是和 DP 相通的。

P2149 SDOI2009

怎么还不如以前，以前我可是独立切这题的！（好像吧

不过这题有点思维难度，当时也做了很久。

P7624 AHOI2021 Junior

做过。省选班题。

突然悟了为什么找负环要先往前跳 \(n\) 次，因为要确保在负环上。不然可能是这样的（我们 Bellman-Ford 按照边的顺序来松弛）

3 4 -1
1 2 -1
2 3 -1
3 1 -1

这样我们会发现 \(3\) 还能松弛 \(4\)，但 \(3-4\) 不在负环上。

类似这样。

连通性问题

P3825 NOI2017

对于 \(x\) 类，只要枚举其为 A / B 就行了，这样覆盖了所有赛车选择。

剩下就是个 2-SAT。

P5058 ZJOI2004

第一是个圆方树板子题。

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然后可以神秘搞一下 Tarjan，达到判断一个割点是否切了 \(A-B\) 的效果。

以 \(A\) 为根做 Tarjan。如果我们通过 \(u\) 与其儿子 \(v\) 判断出 \(u\) 是一个割点，仅当 \(B\) 是 \(v\) 子树内的点才能判定 \(u\) 把 \(A-B\) 切了。

P7737 NOI2021

题意就是，连向同一个点 \(v\) 的点的导出子图是竞赛图。

于是我们就可以简化边，只留下拓扑序最大的往 \(v\) 连就行了。

转化后变成了一棵叶向树。

之后就可以用虚树之类的方法搞搞搞，搞完了。其实是没怎么听懂😛

欧拉回路

P3520 POI2011

首先转化成异或，这种「改变状态」转化成异或显然。

之后画几个图发现一条边只会经过一次，因为如果我们经过了一条边超过 \(2\) 次，我们可以把它被两次经过的环并一下，跳过这个边，于是清洁情况不变的都不管。然后就是欧拉回路 + 把回路拆成环。

10/05

DP。

做 DP 有很多难点……

• 发现 DP

• 设计 DP

• 这咋优化？

• Many many attemps... Many many WAs...

P3537 POI2012

先考虑瞎搞，把满足条件的物品拿出来跑背包。

背包里只有 \(0/1\)，这信息量也太低了，于是……

我们把 \(0/1\) 换成 \(\max a\)，使其最小。然后离线并按照 \(m+s\) 排序，物品按照 \(b\) 排序，于是扫几下就完了。

启发：DP 状态多存信息，有利于优化。

CF744C

状压太明显了。然后我们发现不知道怎么设计状态转移。

于是按照需求搞状态，我们要轮数，可以由搞钱次数算出来，就是红的领了多少。

同时搞红和蓝不好搞，于是记下一个。这样 \(f(S, i)\) 表示买 \(S\) 用 \(i\) 的红宝石就可以转移。

\(i\) 的最大值太大了，接近 \(\sum r\)，但省的钱也可以用来推断买多少，最后推出答案了。

于是 \(O(2^n n^2)\)，可以通过。

DP 可能需要一些优化，这时可以先想如何转移，不管复杂度之类的东西。

P1758 NOI2009

转化为两人取珠子，取出来的一样。这样刚好 \(\sum a^2\)。

然后 DP 就先 \(dp_{i, j, x, y}\)，\(O(n^4)\) 转化到 \(O(n^3)\) 太简单了，\(y\) 可以轻松压掉。

启发：用组合意义进行转化。

P7519 UnitedPS 2021 A/B

一通操作先搞出来个 \(f(S, i, last \ b, \sum b)\)，这样 \(O(2^n n^2 m^2)\)。

这样是一条一条“竖着”确定。然而 \(b\) 是不减的，因此还能“横着”确定。

就是本来是个 \(b\)，现在变成了 \(\Delta b\)。

这样上一个就没关系了啊，直接变成 \(f(S, i, \sum b)\) 就优化完毕了。

P3244 HNOI2015

直接来个 DAG 还好做，就是

\(deg\) 是入度，就是随便选个父亲。

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那环怎么做？

先还是原来那个式子，肯定算重复了！于是我们要去重！

去重肯定是选了个环（老师注意力惊人），于是当 \((x,y)\) 返祖时，从 \(y\) 到 \(x\) 拓扑一遍即可。公式：

其中初值是

这里 DP 是题目中的一个辅助工具。

P3577 POI2014

距离小于等于 \(10\) 个节点，让人联想到一些状压。

无向图的 DP，可以考虑 DFS 生成树，其特征是没有横叉边。

由题性质，其深度 \(\le 10\)，于是把祖先的状态 \(3\) 进制状压下来（选了 / 没选被覆盖 / 没选没被覆盖）。

实现的话要 \(dp(n, S)\)，空间可能炸了。但我们是一路 DFS 下去的，于是只要管一条到祖先的链，不过 \(10\) 个点就行了。

对于图上问题，生成树是简化处理的好方法。这样就成为树形 DP 了。

P3226 HNOI2012

把性质画出来，发现成了几张表，不能选相邻的数。

每张表横着 \(\times 2\)，竖着 \(\times 3\)，这样大小是 \(\log n\) 的。于是随便状压就过了。

P9676 ICPC2022 Jinan R

搞个暴力状态 \(dp(day, 今日练习内容, 没练天数 \ 1, 没练天数 \ 2)\)。这样高达 \(O(n^3)\)，过不了。

然而这个熟练度变没机制很特殊，是 \(O(x^2)\) 的。于是分析一下发现这人肯定不想白练。于是只能有 \(O(\sqrt{\max V})\) 天不练。于是最后就成了 \(O(n \max V)\)。

10/06

AB 都是 sb 题，但 B 做完了观察跑偏了方向浪费了时间，于是同样不难的 C 也没做。D 好难结果想好久。

结论：

1. D 只打暴力！

2. 要学会预处理优化！

3. 原来我不会树形 DP！

4. 不要觉得题目是不可做的！

10/07

最迷糊的一集。

数论

P4588 TJOI2018

不是线段树的做法：

记 \(m = ab, (b, M) = 1\)。

则 \(b\) 好做，直接 \(b^{\varphi(m) - 1}\) 乘上去。

\(a\) 的质因子都是 \(M\) 的质因子，于是维护以下就行了。

P8457 弱化版

什么人类智慧。

尝试 \(x \equiv n (mod \ p)\)，于是 \(x^x = n^x\)，之后的方程是好做的。

组合数学

错排还是先记一下：\(D(n) = (n - 1)(D(n - 1) + D(n - 2)) = nD(n - 1) + (-1)^n\)。

卡特兰数与折线容斥：\(C(n) = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n - 1}\)。

容斥原理。

二项式反演：

对于 \(f(n), g(n)\) 满足

则

一般 \(f(n)\) 是至少满足 \(n\) 个条件，\(g(n)\) 是刚刚好。不懂。

ABC266G

把 RG 看成新物品，于是就先把 R, B, K 放完。最后 G 是插板法。

我们要避免又变出来 RG，于是先避开最后加。

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至少 \(c\) 个 RG 好做。

于是二项式反演即可。一般对于“至少”与恰好，二项式反演都是成立的。

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剩下的根本听不懂。