壹

07/24

例题

• 「NOI2010」超级钢琴

  • 很显然，先固定左端点，看哪个右端点好

  • 也很显然，前 \(k\) 小直接贪心，堆维护

  • 那么选掉一个 \((l, r)\) 后，不能重选如何处理？

  • 把序列裂成两半即可。复杂度 \(O((n + k) \log n)\)

• 做过的题，跑路

• 「NOIP2012」疫情控制

• 「SCOI2016」萌萌哒

  其实就是以前一次模考的区间平行连边。

  平行连边，最后把并查集的连通关系都下推掉即可。答案为 \(9 \times 10 ^ {连通块个数}\)

• CF983E

  • 一棵树，\(n\) 个点，树上有 \(m\) 条公交路线，可以在路线上随便上下车，\(q\) 组询问，问最多换几次公交能从 \(u\) 走到 \(v\)。

  • 先处理只坐一次公交最高到哪里，然后处理坐 \(2^k\) 次车能到的地方。

  • 这样我们先把两个点跳到 \(\operatorname{LCA}\) 下面，看看能不能通过一次公交直接翻过 \(\operatorname{LCA}\)。判断方法可以二维数点 / 激活法。

07/26

two pointers & meet in the middle

前边的例题是不是太 simple 了

内容

双指针是一种通过一些性质（主要是单调性）优化暴力的算法。

方法

• 对撞指针

• 快慢指针

例题

• 好简单的双指针例题 1

• 也很简单的双指针例题 2

• 好像是链上找环状物，听懂了思想是有点像 Pollard-Rho，但还是没明白题目要干嘛

• simple meet in the middle 例题

• Gym101064D

  二分 + 双指针 check

  话说这题的变形好像在去年 J 组洛谷模拟赛里有？

• P1381

  simple

• P3143

• P4799

• CF525E

  每个数可以不选 / 选 \(a_i\) / 选 \(a_i!\)，因此直接爆搜是 \(3^n\) 的，gg

  因此 Meet in the middle

• P3067

  • 选任意个数，使之能化为和相等的两组，方案数

  • 每个数 \(3\) 种状态，不选 / 第一组 / 第二组，\(3^{23}\) 炸了，因此 Meet in the middle，记录差值互相找

• Gym103389C

  • \(O(2^nm)\) 的算法显然

  • 但是这里有一个似乎比较多的分析法：开店数量 \(\ge 2\) 的不超过 \(36/2=18\) 家，因此状压 \(2^{18}\) 即可。

07/27

zzy，最短路。

内容

• 普通最短路

• 差分约束

  \(x_i - x_j = w_k\)，连 \((i, j, -w_k)\) 和 \((j, i, w_k)\)。

例题

• CF1196F

  • 首先我自己胡了一种做法，看了下题解是对的：

    每个点放堆里，堆里每个点按步跑 Dijkstra

  • 然而更好的做法是只考虑前 \(k\) 小的边连接的点，是 \(O(m + k^3)\) 的。

    当然，也可以 \(n\) 轮 Dijkstra 变成 \(m + k^2 \log k\) 的。

• CF295B

  好像有重题吧，一个一个加点跑 Floyd 即可。

• CF1205B

  • \(10^{18}\) 二进制下只有 \(60\) 来位，所以如果所有 \(a_i\) 在二进制下 \(1\) 的个数超过 \(180\)，直接输出 \(3\)。

  • 所以 \(n \le 180\) 时直接暴力，Floyd 跑完后枚举起点终点即可找到最小环。

  • 这个分析有点像 Meet in the middle 时老师分享的那个 CCPC 女生场。

• CF1005F

  感觉好怪，这不就是把最短路 DAG 建出来再找最短路树吗？

• 「NOIP2017」逛公园

  • 我自己的口胡：肯定 DP 啊，\(K\) 这么小，大概就是 \(dp_{i, k}\) 表示比最短路多走多少的方案数。

    如果 \(1 \sim N\) 的路径上 存在零环，那么就是 -1 了。

  • 不过把一个点拆成 \(K\) 个实在是太妙了！

• 「NOI2019」弹跳

  • 我的口胡：这不一眼线段树优化建图吗？（树套树）好吧被卡空间

  • 正解：改一下，利用 Dijkstra 只更新一个点一遍的性质，用线段树套 set 维护。

• POI2013

  边可以重复走，因此只要有路径小于等于目标且与之与 \(2\) 同余即可。

  所以记一下奇偶长度的最短路即可。

• 给定一张 \(n\) 个点的无向图，定义 \(dis(u, v, w)\) 表示 \(u - v\) 不经过点 \(w\) 的路径，如不连通则为 \(-1\)。求

  \[\sum_{u = 1}^n\sum_{v = 1}^n\sum_{w = 1}^n dis(u, v, w) \]

  • 我的口胡：可以在 Floyd 时记录哪个点松弛了哪些点对，并记下次短路。然后先枚举 \(w\)，再枚举被 \(w\) 松弛的最短路计算即可。\(O(n^3)\)。现在发现假了，因为节点是可以间接更新最短路的。

  • 好神奇，听不懂。好像是什么时间线段树支持删除啊什么的。总之就是没听懂。抽象死了。

  • 看了题解好像稍微懂了一点：\(dis(*,*,l, r)\) 表示不用 \([l, r]\) 时的全员最短路，加 \([l, mid]\) 处理 \(dis(*, *, mid + 1, r)\)，加 \([mid + 1, r]\) 处理 \(dis(*, *, l, mid)\)，\(l = r\) 时统计答案。

• CF59E / P1811

  我的口胡：对每个节点记录它的前驱节点，然后……好像很简单了。

  正解……没听。。。但我的口胡好像是对的。

• POJ1201

  求 \(\min |Z|\)，满足 \(a_i \le x \le b_i, x \in Z\) 的数量 \(\ge c_i\)。

  我的口胡：这不就是差分约束？区间转差分连连边。

  正解：完了，又忘听了。。。看了下 POJ 上的题解，好像是对的

下午月赛晚上 ABC，题没时间做了，以后抽空再写吧。。。

07/28

Content

• 允许 \(K\) 次失配的匹配

  二分

• 最长公共子串

  • 把每个串的长为 \(k\) 的子串拉出来算哈希，看看有没有子串在每个字符串里都出现了，二分 \(k\)

例题

• 「NOI2016」优秀的拆分（\(N \le 2000\)）

  这题好像没花时间讲？

• 「NOI2014」动物园

  写过。

• P4824

  也写过。

• CF825F

  怎么又写过了，是不是完全抄上学期的啊，不听了。

• 「POI2005」SZA-Template / Gym105114F

  好吧，又是写过的，不过我觉得这次理解更透彻。

  记下每个前缀最大能印到哪里（\(h\) 数组）。\(dp\) 记录答案。

07/29

可撤销并查集

把数组回滚即可，路径压缩不行，会被卡死。高大上是可持久化并查集，直白点就是个可持久化数组

实际上，均摊的复杂度都不能可持久化。

建堆

\(O(n)\)，二叉堆能这么建是为了让底层更多的点少跑一点。

怎么不讲点高级的堆啊……

对顶堆

平板电视已经能跑了。。。时代变了。。。

set & map

用 s.rebgin() 获取最大值。

vi v(s.begin(), s.end())

insert, erase 都有返回值。

什么？？？map 底层是 set 实现的？？？那我用什么 map，再也不敢乱用了。

set, map, vector 的 swap 是 \(O(1)\) 的。

但经过 u 群的讨论（这是后话了），pbds 不是 \(O(1)\) 的。

例题

• P2024「NOI2001」食物链

  • 种类并查集

    每个点分 \(a_i, b_i, c_i\)，如果 \(u\) 吃 \(v\)，则 \(a_u \Leftrightarrow b_v\)。

    等价的东西之间并查集合并，如果发现 \(a_u \Leftrightarrow b_u \Leftrightarrow c_u\)，那肯定假了

  • 带权并查集

    连的边有边权，表示 \(2\) 者的关系。但是关系要能合并。

• \(n\) 个点，会连双向边，问 \(u_i, v_i\) 最早什么时候连通

  哈哈哈，这是最小生成树，连边权值是操作是第几次，直接 \(u, v\) 路径最大值。

• in OI-Wiki

• in OI-Wiki

  直接把整条路径合并了。来自老师的简短代码：

  void modify(int u, int v) {
      u = find(u), v = find(v);
      while (u != v) {
          if (dep[u] < dep[v])
              swap(u, v);
          merge(u, fa[u]);
          u = find(fa[u]);
      }
  }
  

• P4374 Disruption

  一条待选边有用，当两点路径种有边断了。额，总之就是把链上全合并成尽可能小的待选边的值。

  不过时代变了，好像可以用平板电视可并堆 + 树上差分了！

  写了一下，并查集很简短，哪里有紫

• P6346 专业网络

  最贵的人尽量满足，并查集维护。

  后来想了以下感觉和时光倒流有一点相似之处。

• P1792「国集」种树 / 「JOISC2018 Day4」糖

  一种是直接选

  一种是把选过的 \(0101010 \dots 01010\) 反转了，把这种结构也看成点，值是反转后 - 当前

  所以每次就是加上最大的点，如果相邻了可以合并一下成反转点，否则直接加。

  难点在于，观察出这两类选糖的普遍方法。其实在遇到把糖换下来的时候我们就应思考反转这一点，因为换下来 / 放上去就是异或。

• 最长等差子序列(Leetcode1027)

  要求复杂度 \(O(n^2)\)，其实直接 dp 即可，至于值域，只要用 unordered_map 存一点东西即可，空间复杂度是 \(O(n^2)\) 的。

  • 然而 \(n = 10^4\) 很难卡，我们可以乱搞一下，如果 \(N\) 太大第二层循环只跑一半。😛

• 「SHOI2009」会场预约

  只要把要删掉的暴力删除即可，每个线段只被删一次，我用了 \(2\) 个 set。

  啊，注意到线段两两不交，可以按照这个暴力，然后 \(1\) 个 set 维护连续段即可。

  set 也是维护连续段的利器。

• CF1791F

  是个超简单的诈骗题。对于这类题，一个数不会被操作很多次，可以看作常数，直接暴力即可。并查集维护不能修改连通块。

07/30

模拟赛。题好简单。rk. 1

学到了一点随机化技巧以及异或哈希这一算法。

08/01

内容

线段树标记永久化

常数小，不过通常不需要。

注意维护的 tag 要有交换律，比如线段树 2 就不可以。这样我们就不知道哪个 tag 在先了。

\(O(\log n)\) pushup

楼房重建等。那个黑题没听懂，好像也是。

势能线段树

就是区间开方之类的啊，其实不是很难。

例题

• 「NOI2004」郁闷的出纳员

  时代变了，其实 pbds 平衡树就够了

  可以动态开点 + sgt 上二分。好像就是主席树。有 pbds 了还写什么 sgt

• 「NOI2016」区间

• 「IOI1998」Picture

• 线段树优化建图板子题

• 李超线段树

• 楼房重建

  变成斜率，维护必须上升子序列长度。好难啊，不过代码似乎很好写的样子。现在懂了。

• 「HNOI2018 / AHOI2018」转盘

  怎么是黑啊/kk

  不听了！先放着！

08/02

概况

又是模拟赛。\(100 + 100 + 70 + 0 = 270, rk.3\)

这次在假做法上浪费 1.5h，默哀。

题目

A. hot 和 B. tunnel 都很蠢。C. tree 的前 \(50\) 是暴力 dp，\(20\) 分也好拿，这档部分分写掉还能顺便再拿 \(10\) 分。D. survive 有难度，但前 \(31\) 分很送。

理想分数 \(100 + 100 + 80 + [31, 62] = [\red311, \red342]\)，是个很不错的分数了。

失误分析

1. 又在假做法上浪费了大量时间。 tree 的最后一个假做法和暴力是违背的，但是编完假做法后完全没有冷静思考，直接耗尽了 survive 的时间。

2. 完全没有思考 survive。看到数据范围和题目一脸懵逼，认为还要预判未来很不可做，完全没有思考可以一层一层记录状态，然后可以随便转移了。时光倒流也不是非常难想。

   但关键还是没细想，并且在 tree 上浪费了时间。

改进

1. 懂得取舍，不要因为一道题看起来可做 / 付出很多努力而死磕。

2. 在一道题浪费的时间 \(\ge 30\min\) 时就应该打暴力 + 换题。因为你多半想不出剩下的部分。

3. 不要觉得有完全不可做题，每题都投入一定的思考。

08/04

状压 dp。数位 dp。

内容

• 子集枚举复杂度: \(O(状压枚举集合层数 + 2)^n\)。

• 预处理 popcnt: c[s] = c[s >> 1] + (s & 1)。

• 生成树状压 dp

  • 按层加点

  • 选节点，合并子树

• 半行状压法

  CF111C。

• 强连通图生成法

  耳分解。一次一次加环。

例题

• 「CQOI2018」解锁屏幕

  先瞎暴力，\(O(n^3 2^n)\)。

  然后我们发现找有没有问题居然要 \(O(n)\)，真烦。所以预处理优化掉是否非法。\(g(i, j, S)\) 表示 \(P_iP_j\) 是否经过 \(S\) 里的点。转移：\(k = lowbit(S), g(i, j, S) = g(i, j, S) \wedge [k \notin P_iP_j]\)。实际上，预处理直接处理两点直线交的点的集合即可。总复杂度 \(O(n^3 + n^2 2^n)\)。

  据经验，预处理时用 \(lowbit\) 转移是常见方法。

• 「JXOI2012」奇怪的道路

• CF1463F Max Correct Set

  结论：\(L = x + y\)，这一范围内 dp 即可。

• 「联合省选 2020 A | B」信号传递

• CF401D

  \(0 \sim 9\) 的数量记一下，模 \(m\) 的余数记一下。然后转移。

  但这样很难写，记下使用了 \(n\) 的哪些位数即可。比较方便。确定一个填数的顺序，有利于转移。

• CF111C

  我们按照先行后列的顺序枚举格子。然后我们只关心这个格子前 \(n\) 个。之后考虑被这个格子新覆盖的格子。

  不过这个方法非常难写，因为要一堆分类讨论和位运算。懒得写了。

  最优复杂度 \(O(nm2^{2m}) = O(nm4^m)\)，懒一点可以写一个 \(O(nm6^m)\)。

• 「NOIP2017」宝藏

  按层加点。

• Gym102759C Economic One-way Roads

  很难。考虑建出一个强连通图，再在里面选两个作为新加的路径的端点。之后可以扩展。

  老师：这题我看课件前都没见过。写课件的真是穷尽自己一生所学