General Tricks

• 「正难则反」比如说，如果要统计具有某个特征的对象的数量，要 check 一堆东西。此时不妨尝试统计不满足某个特征的对象的数量，用总数量减掉它。e.g. XJOI 7012, 统计含有回文串的数字个数。

• 「强制定向」当一道题有 \(2\) 个方向时，可以把 XX 操作当成一个向量，钦定其唯一方向，但是能有正负。这样就简化了问题。e.g. P5817

• 「推广法」如果不会做数据大时的情况，尝试数据小时的做法，然后推广至普遍做法。e.g. CF1706E

• 「时光倒流」把时间 \(\le k\) 变成 \(\ge n - k + 1\)。e.g. 「NOI2010」航空管制

策略

• 「部分分」部分分有时候有提示性，必须看。

• 「暴搜剪枝」如果你没办法只能写指数级暴力了，必须写剪枝，不然只能拿垫底分，并且必须卡时。e.g. 0723 模拟赛，B 只拿了 10pts

• 「IDA* 想题」你不要在一道题上想太久，如果想 30min 想不出 / 已经搞了个假做法，赶紧上厕所换思路 / 打暴力。e.g. 0723 模拟赛，B 卡了 2h

• 「模拟操作」遇到奇怪的操作要模拟一遍，不然发现不了题目的性质。e.g. xyd 07/18 模拟赛的 B

• 「卡常」有时卡常实在是不可避免的，不要焦躁，不要为一时间咯不懂而忧虑，慢慢卡。看起来循环展开很蠢，实际上优化非常大。有时循环的顺序不太优美，调换一下可以促进内存连续访问。

• 「赌数据」发现由于一些原因复杂度正确的做法常数巨大 / 极其难写 / 写不出来时，可以考虑写一些随机情况下跑得飞快的算法（比如字符串暴力匹配一类）。

• 「大模拟」大模拟，需要头脑冷静，不急不躁，想明白程序结构，尽量做好模块化。

• 「超时强退」如果我们不会复杂度对的方法，可以考虑计算程序运行时间，如果快超时了直接瞎搞几下并 return。如果数据有点弱，可以骗很多分。

数据结构

• 线段树

  • 线段树维护奇怪东西有关的题目主要考虑 pushdown 与 pushup 操作。

  • 连续区间的维护，想到线段树。

  • 线段树二分如果不是从末尾开始的，要 bool flag; int find_res。e.g CF407E

• Heap / priority_queue

  • 如果遇到一些：把一个数划分为数量固定的几个数的和，要求什么最优值，可以考虑先把每个数设为 \(1\)，塞进优先队列里按贡献一个一个加。e.g. ABC359F

• Trie

  • 有异或，想到 Trie。

• DSU

  • 图论联通、MST、删边之类的，可以考虑从小到大（单调就行）加边，dsu 维护。e.g. 好多啊…… CF1857G

  • dsu 和 set 都可以维护连续段。

• 笛卡尔树

  • 笛卡尔树是刻画区间最值的数据结构，本质其实就是区间最值的位置。因此如果题目里有区间最值，可以考虑钦定最值的位置。

• 单调栈

  • 单调栈是维护区间后缀最值的结构。e.g. CF407E

Algorithm

• DP

  • 换根 DP

    • 常用思考方式：

      1. 树形 DP 做出定根的答案；

      2. 假如从 \(u\) 到 \(v\) 换根，那么先把 \(dp_u\) 去掉 \(dp_v\) 的贡献作为 \(v\) 的一个儿子计算。

  • 数位 DP

    • \([X, Y]\) 中满足 \(p(n)\) 的 \(n\) 的计数，极其常用的技巧：计算 \(X, Y - 1\) 的答案 \(F(X), F(Y - 1)\)，\(ans = F(X) - F(Y - 1)\)。

  • DP 设计 / 思考

    • 有关数论的 DP 可以大胆设包含很多信息的状态，凭经验，用到的状态不会很多，map 记录即可。e.g. 笔刷, CF900D.

    • 对于计数 DP / 几乎所有 DP，思考你的目标是什么，这点很重要。如果你算的是一个部分，考虑整体结果可不可得。e.g. CF900D

    • DP 的本质是一张 DAG。因此如果 DP 不是普通的起点固定找终点的话（终点固定找起点），可以倒过来 DP。e.g. LG 2024 秋令营 Day2 C

  • DP 转移

    • 如果转移方程发现有设计当前不能确定的参数、变量之类的，不妨试着将这些东西“拖延”下去，在能确定时再转移。e.g. P6622

    • 如果转移太慢，可以预处理优化压掉一点复杂度。e.g. 「联合省选 2020 A | B」信号传递

    • 有环的转移可以变成解方程！e.g. 赶小猪

    • 如果方程元很多，但是一个元只和少量元相关，那可以尝试主元法！e.g. #6357.

    • 如果主元法又是 double 题，那就不要主元法（精度要炸），观察一下这个增广矩阵有什么特殊性简化高斯消元。e.g. CF24D.

  • DP 优化

    • 状态太复杂时把状态压到 dp 的值离去，最后统计答案。e.g. ABC325F

    • 矩阵优化 DP 可以把一些不必要的内容删掉（比如 \(n \times n\) 的图矩阵变成 \(1 \times n\) 的向量）。e.g. 「NOI2020」美食家（还没做 😛

    • 矩阵优化 DP 也可以用结合律换掉计算顺序，比如从向量开始乘，而不是从矩阵开始。e.g. 信友队一道远古例题。

    • 如果 dp 数组里只有 \(0/1\) 表示存在性的化，转移是很浪费的（枚举一堆没用的 \(0\)）。此时可以考虑用个 vector 记录哪里有 \(1\)。e.g. CF1582F2

    • DP 如果是随意选满足条件的 \(n\) 个数的计数的话，可以把 \(dp_{i, x}\) 表示选 \(i\) 个物品变成 \(dp_{w, x}\) 表示选 \(2^w\) 个物品。e.g. P3321

• 搜索

  • 想完 DFS 或 BFS 想想另一种能不能做。

  • 思考搜索的状态数，看看用 DFS 还是 BFS。

  • 从容易出现矛盾便于剪枝、可能的答案少的地方开始搜索，大幅减小搜索树。example: P1074

• 构造

  • 发掘问题的性质有助于想出好方案。

  • 构造题多想推广法。

• 二分

  • 可以用逐位确定替代二分，其实就是换成倍增。

  • 遇到平均值考虑分数规划。e.g. P5319.

• 倍增

  • 倍增处理的是一类怎样的问题？进行 \(n\) 步，具有结合律、交换律的信息。因此倍增可以做 LCA、各种二进制分组…… e.g. P3321, 用倍增优化 dp 状态中的选择几个物品

• 分治

  • 遇到神秘点对问题可以用分治法做。

• 贪心

  • 流水法：大自然是最好的老师。考虑水怎么流比较优？e.g. ARC175C

  • 涉及安排顺序的最优化问题考虑贪心，排序关键字邻项交换考虑。之后可能会套个递推 / dp。e.g. XYD0805C, ABC366F, P10811 排序后 bitset 优化

    这个算法的本质是我们可以确定选取一个确定集合的顺序 / 哪个是最后一个或第一个，然后按照顺序确定最优集合。

Math

• Number Theory

  • 遇到很大的数字求答案可以考虑转成取模意义下的解，多取几个模数最后 CRT 合并答案。

  • 把约数存下来非常慢，可以考虑反过来枚举。

  • \([i \bmod 2 = 0] = \frac{1 + (-1)^i}{2}\)，\([i \bmod 2 = 1] = \frac{1 - (-1)^i)}{2}\)。

  • 有 \(\gcd\) 可以思考 \(\gcd(a, b) = \gcd(a, a + b)\)，这样能避免冗余的加法 / 表明 \(\gcd\) 可以套差分。e.g. Interval GCD, CF1322C Instant Noodles

• 二进制

  • 有异或，想到 Trie。e.g. CF888G

  • 有位运算通常拆位考虑。有加法的拆位方法是第 \(k\) 位只能被前 \(k\) 位影响，然后可以试图在模 \(2^{k + 1}\) 的意义下考虑。e.g. CF1322B

• Linear Algebra

  • Gauss Elimination

    • 对于图上一些不确定的值的问题，可以建出线性方程（等量关系），用高斯消元求解。e.g. 赶小猪

  • 线性代数有很大的对称性 / 均匀性。比如一堆 \(0/1\) 那所有子集的异或和肯定是 \(0, 1\) 各半。线性基能异或出的数出现次数一样。e.g. CF1336E1, UOJ36

  • 很长的 \(01\) 向量可以对于每一维随机赋权。e.g. P10778.

• Other

  • 绝对值可以不用分类讨论，可以把值（比如 \(a\)）变成 \(-a\) 再做一遍。

  • 维护乘法（像 ARC182C 那样的）可以考虑这个公式：

    \[\prod_{i \in S} (t_i + d_i) = \sum_{T \in S} (\prod_{i \in T} t_i \times \prod_{j \in S} a_j) \]

  • 由类似 \(\lceil n / k \rceil\) 之类的东西可以考虑抽屉原理。

数数

• 每个都必须选一个等价于每个都至少选一个，后者可以容斥。e.g. P4336

图论

• MST

  • 建立超级源点向所有点连权值为对应点点权的边，再跑 MST 可以化点权为边权。example: CF1245D

  • 按照顺序加边，求第一次满足 XXX 的……先按照时间建 MST！e.g. P10875

• Block forest

  • 维护节点信息时，方点只要维护自己儿子的信息即可（是个树嘛，往上跳时顺便就算上贡献了）。但注意一点：如果查询 \(u,v\) 的 LCA 是方点，还要算上方点的父亲。e.g. CF487E

• Shortest Path

  • Dijkstra,SPFA 可以得到多个源同时的最短路。（最开始把所有源的 dis 设为 0，然后都加进队列）

  • 最短路的矩阵刻画：

    \[ans = G^{n} \times \begin{bmatrix} 0 \\ + \infty \\ + \infty \\ \vdots \\ + \infty \end{bmatrix} \]

    这里 \(G\) 的矩阵乘法的方式是 \(c_{i, j} = \min_{k = 1}^n a_{i, k} + b_{k, j}\)

    矩阵快速幂时，注意单位矩阵应变为除了对角是 \(0\) 其余全部是 \(+\infty\) 的形式。

• 基环树

  • 先把环拆出来。

  • 环可以破环为链。

• 匹配

  • 最大权独立集：选了 XX 就不能选 XX。

• 网络流

  • 如果没有“流守恒”相似的性质，那很可能就不是最大流类问题，得从割或别的角度考虑。e.g. 最大权闭合子图

  • 如果是“选择任意个 XX”，可以考虑最小割。e.g. 最大权闭合子图, P2774 方格取数

  • 有点权先考虑拆点。e.g. P2045

  • SSP 算法中的最短路具有凸性（斜率递增）

• 传递闭包

  • 传递闭包是建立边可重与不可重的联系。e.g. 最小路径覆盖

• 网格图

  • 可以考虑先黑白染色。

• LGV

  • 有 LGV 的形式但不一定完全是 LGV 的，主要考虑这个容斥系数 \(-1^{\operatorname{sgn}(\sigma)}\)。e.g. ABC216H

• Other

  • 复杂的路径 / 别的东西可能是简单的东西拼起来的。e.g. NOI2019 序列

  • 邻接矩阵有时可以看作一种矩阵。

  • 虚拟结点是个好东西，非常妙。

  • 从小到大加边，很频繁的 trick。

  • 分层思想。e.g. #3004

树

• 从小到大加边，很频繁的 trick。

• LCA

  • 动态维护 LCA，可以按照 dfs 序排序，dfs 序最小的和最大的点的 LCA 就是整体的 LCA。e.g. P10517

• 直径

  • 广义直径：点集最远距离。

  • 直径端点可以线段树维护。

• 虚树

  • 不显示建虚树

    现把要求的点按照 DFS 序升序排序。然后把第一个点 - 根的贡献加上去（这是为了写得清楚方便）。这样后求排序后的相邻两点 \(v_{i - 1}, v_i\) 的 lca，把 \(v_i-lca\) 的贡献加上去。最后求所有点的 lca（即 \(lca_{v_1, v_n}\)），把 \(lca -root\) 的贡献删掉。

    代码实例

    e.g. #2562. 「SDOI2018」战略游戏，关键代码：

    int ans(LCA::val[s[1]]);
    L(i, 2, S)
    	ans += LCA::val[s[i]] - LCA::val[LCA::lca(s[i - 1], s[i])];
    
    printf("%d\n", ans - LCA::val[LCA::f[lca(s[1], s[S])]] - S /* 对于本题有额外的贡献要去除 */);
    

  • 不显示建虚树的另一种方法：

    \[ans = \sum d(u_i, lca) - \sum d(lca(u_i, u_i + 1), lca) \]

    （\(u\) 已经按照 dfs 序排序）

    e.g. P10517

• Other

  • 树上信息本身不好维护，可以通过 DFS 序转化为序列维护。

  • 建立虚拟节点把森林连成一棵树。

  • 如果题目与树的度数有关，那么树的总度数是确定的（\(2n-2\)），可以以此转化为序列分配问题。e.g. ABC359F

  • 从哪里来的本质可能是一个树状结构，可以考虑状态之间如何构成一个抽象关系。e.g. CF1271E.

  • 经典转化：节点对的贡献变成 LCA 的贡献。

String

• Hash

  • 能单模就尽量单模，因为单模不用 umap 这类东西，常数巨小，甚至可以直接 bitset。e.g. CF1063F solution。

专题

序列区间

• 可以考虑转为差分问题。e.g. CF1120D

• 可以固定一个端点，确定最有左端点。

• 区间操作，可以拆区间。（像 ST 表、二进制拆之类）e.g. 区间平行连边建图。

• 分治是解决序列问题的好方法。

• 扫描线可以解决很多数特殊子串的问题。

• 如果我们要做一个区间扩展问题（比如要求个什么东西，我们发现可以由小 / 非法区间扩展开来（变大）），然而我们不知道到底扩展哪一边。此时可以考虑两边同时扩展，再考虑怎么算之类的问题。e.g. ARC173C

随机化

• 对于一个可以在随机数据下跑得快，但会被卡的算法，可以考虑把计算顺序打乱等方法防止被卡。e.g. XYD0730D

最优化问题

• 如果又要求 \(\max\) 又要求 \(\min\)，试着把相反数带进去。这样子写起来快多了，还不容易出错。e.g. #6012. 分配问题

有理有据的乱搞

• 由 \(1 / -1\) 随机组成的序列，前缀和中的最大值的规模是 \(O(\sqrt n)\)。于是跑背包的时候可以先 shuffle 一遍。e.g. LG 2024 秋令营 Day2 B

  事实上，背包前 shuffle 几下是可能很有用的方法。总之，如果需要构造数据才能卡的做法，先想 shuffle 行不行。

• 调整法：先瞎搞出一个解，然后不停尝试枚举所有可行的改变答案的方法，想办法调整。（感觉和模拟退火很像啊）e.g. ABC373G

杂项

• 所有数互不相同 = 排序后递增。e.g. 240805 模拟赛，一个 DP。

• 题目中有 \(\max(a, b)\)，可以试图对 \(a, b\) 的大小分讨。

• 想了正向统计就要想反向的。

• 可以用对数和指数函数实现乘法与加法的转化。如果是模意义下的，底数要使用原根保证唯一性。e.g. P3321

• 告诉你要把给每个点选黑 / 白的状态，其实可能不是每个点选，而是叫你选出一个集合来。e.g. UOJ #77.

写代码

浮点数

• floor 减小精度误差：floow(x + eps)。e.g. THUPC 2017

• 用了 double 的网络流要用 eps，不然可能玄学死循环。

• 避免 double 的一种方法：值域扩大 \(10/\Delta\) 倍，其中 \(\Delta\) 是题目允许的误差。不过注意不要漏乘。CF925F

STL

• 二维 map：map < pii, int >。

其它

• 多测 + 记忆化搜索，可能记忆化可以复用。e.g. P4213 杜教筛，不用清空 map，discussion link。

调题

• 有思路但写懵逼了？考虑每个变量的定义并画图，或将流程用图画出来思考怎么写。

• 没思路还人类智慧？考虑多玩几组样例。

• 画图！画图！画图！

• 可以对一个题的几个部分写出不同的做法，或者重写一次代码作为对拍的拍子。可以有效防止写挂。

• size -G ./example 可以测空间，单位是 Byte。

• -D_GLIBCXX_DEBUG,-D_GLIBCXX_DEBUG_PEDANTIC 可以在 STL RE 的时候直接报错。（用法：g++ a.cpp -o a -std=c++14 -Wall -O2 -D_GLIBCXX_DEBUG -D_GLIBCXX_DEBUG_PEDANTIC）

• 开报错警告

  • -Wall: 标准警告

  • -Wextra: 额外警告，包括

    • unused 变量函数

    • 可能会导致安全、性能问题的问题

  • -Wshadow: 内外部变量同名警告

  • -Wpedantic: more strict. 建议加上防止奇怪问题

    • 不符合 C++ 标准的代码

    • 可能导致 UB 的代码

    • 可能导致代码难以维护的代码

  这里似乎还有很多，就先不记了。