3 - 矩阵的运算、逆矩阵

布布的线代笔记 3

 

0. 前序知识

 

1.行图、列图

2.高斯消元法：确定主元 → 消去主元下方所有系数 → 得到只含一个未知量的方程 → 回代得解

3.利用矩阵表示消元法：消去矩阵 $E$，置换矩阵 $P$，增广矩阵 i.e. $[A\boldsymbol b]$

 

1. 矩阵

 

一个 $m$ 行 $m$ 列的矩阵称为 $m \times m$ 矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素用 $a_{ij}$ 表示，称为 $A$ 的 $(i,j)$ 元素

$$i.e. ~~A=\begin{bmatrix} a_{11} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & ... & a_{ij} & ... & a_{in} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & ... & a_{mj} & ... & a_{mn} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & ... & a_n\end{bmatrix}$$

行数，列数都相同的矩阵可以相加，矩阵可以乘以任意常数 $C$

$i.e. ~~ \begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&0&1\\1&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&2&4\\5&5&7 \end{bmatrix}$

$i.e. ~~ 2\begin{bmatrix} 1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&6\\8&10&12 \end{bmatrix}$

$0$ 矩阵：所有元素都为 $0$
$~~i.e. ~\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}$

方阵：$m=n$
$~~i.e. ~\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$

对角矩阵：非对角都是 $0$ 的方阵
$~~i.e. ~\begin{bmatrix} a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33} \end{bmatrix}$

 

2. 矩阵的乘法

 

$$A=\begin{bmatrix} row~1\\...\\row~m \end{bmatrix}, ~~B=\begin{bmatrix} \boldsymbol b_1 & ... & \boldsymbol b_n \end{bmatrix}$$

$$~~~~~~A\boldsymbol b_1 = \begin{bmatrix} \vec {row~1} \cdot \boldsymbol b_1\\...\\\vec {row~m} \cdot \boldsymbol b_1 \end{bmatrix} ~~~ A\boldsymbol b_2 ~ ...$$

$$\begin{aligned} (AB)_{ij} &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj} =\sum\limits^n_{k=1}a_{ik}b_{kj} \\ (AB)_{i.j} & = (row~i~of~A) \cdot (column~j~of~B) \end{aligned}$$

矩阵乘法是怎么来的？

$$\left\{ \begin{aligned} x' & = a_{11}x+a_{12}y \\ y' & = a_{21}x+a_{22}y \end{aligned} \right. ~~~~~ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

$$\left\{ \begin{aligned} x'' & = b_{11}x'+b_{12}y' \\ y'' & = b_{21}x'+b_{22}y' \end{aligned} \right. ~~~~~ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$$

用 $x,y$ 表示 $x'',y''$

$$\begin{aligned} x'' & = b_{11}(a_{11}x+a_{12}y)+b_{12}(a_{21}x+a_{22}y) \\ & = (b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21})x + (b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22})y \\ y'' &= (b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21})x+(b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22})y \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21} & b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\ b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21} & b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned}$$

要想做矩阵 $A,B$ 的乘法，要求 $A$ 的列数 $=B$ 的行数

$$A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$$

$i.e. ~~ A_{23}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} ~~~ B_{32}=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \end{bmatrix} =AB \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} x' & = b_{11}x + b_{12}y \\ y' & = b_{21}x + b_{22}y \\ z' & = b_{31}x + b_{32}y \end{aligned} \right. ~~ \to ~~ \left\{ \begin{aligned} x'' & = a_{11}x' + a_{12}y' + a_{13}z' \\ y'' & = a_{21}x' + a_{22}y' + a_{23}z' \end{aligned} \right.$

其它两种理解方式

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}_{A} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}_{B} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}_{AB}$$

$i.~AB$ 的第 $i$ 行 $=A$ 的第 $i$ 行 $\times B$

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \end{bmatrix}$$

$ii.~AB$ 的第 $j$ 列 $=A \times B$ 的第$j$列

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \end{bmatrix}$$

 

3. 矩阵运算的性质

 

加法交换律：$A+B=B+A$

数乘分配律： $c(A+B)=cA+cB$

加法结合律：$A+(B+C)=(A+B)+C$

乘法左分配律：$A(B+C)=AB+AC$

乘法右分配律：$(A+B)C=AC+BC$

乘法结合律：$A(BC)=(AB)C$

没有乘法交换律：$AB\neq BA$ （例外：单位矩阵、数量矩阵）

$AB=AC$ 不代表 $B=C$ （不满足消去律，可逆才可消去）

$AB=0$ 不代表 $A=0$ 或 $B=0$

 

4. 矩阵的方幂

 

设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$p$ 是正整数，则 $A^p=\underbrace{A~...~A}_{p个A}$ 称为矩阵 $A$ 的 $p$ 次幂

规定 $A^0=I_{m \times n}$， 有 $A^p \cdot A^q = A^{p+q},~~(A^p)^q=A^{pq}$，但 $(AB)^p \neq A^pB^p$

 

5. 分块矩阵

 

分块矩阵乘法时：若矩阵 $A$ 的列的划分与矩阵 $B$ 的行的划分一致，可对 $AB$ 进行分块运算

$$A = \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ \hline -1 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ \end{array} \end{bmatrix} ~~~ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 3 & 2 \\ \hline 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$A_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 0 \end{bmatrix} ~~ A_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} ~~ A_{21}=\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \end{bmatrix} ~~ A_{22}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$B_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} ~~ B_{21} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} ~~ B = \begin{bmatrix} B_{11} \\ B_{22} \end{bmatrix} ~ \Rightarrow ~ AB = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} \\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} \end{bmatrix}$$

$$\begin{aligned} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} &= \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} &= \begin{bmatrix} 6 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned} ~ \Rightarrow ~ AB = \begin{bmatrix} 4 & 6\\ 5 & 2 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$$

将 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 分为每列一块，$n \times p$ 的矩阵 $B$ 分为每行一块

$$\begin{bmatrix} \begin{array}{c|c|c} a_1 & ... & a_n \end{array} \end{bmatrix}_A \begin{bmatrix} b_1 \\ \hline \vdots \\ \hline b_n \end{bmatrix}_B = \begin{bmatrix} a_1b_1+...+a_nb_n \end{bmatrix}_{AB}$$

从线性组合的角度看矩阵乘法（矩阵可以看作向量）

矩阵 * 列向量 是关于 矩阵列 的 线性组合，系数是 列向量 的对应元素

行向量 * 矩阵 是关于 矩阵行 的 线性组合，系数是 行向量 的对应元素

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

 

6. 逆矩阵

 

若方阵 $A$ 存在矩阵 $B$，满足 $AB=BA=I$，则 $A$ 可逆，称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记 $A^{-1}$

有 $A^{-1}A = AA^{-1} = A^{0} = I$，$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}~\Rightarrow~\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}$

不可逆矩阵也称为奇异矩阵，可逆矩阵也称为非奇异矩阵

 

7. 矩阵可逆的性质

 

$1.~n \times n$ 的方阵的逆矩阵存在当且仅当消元法得到 $n$ 个主元

$2.~$矩阵 $A$ 不可能存在两个不同的逆矩阵，若 $A$ 有 $BA=I, ~AC=I$ 则 $B=C$

$3.~$若矩阵 $A$ 可逆，则 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解 $\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}$

$4.~$若 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 有非零解，则矩阵 $A$ 不可逆

$5.~2\times 2$ 矩阵
$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 可逆 $~~\Leftrightarrow~~ ad-bc \neq 0$ 且有 $A^{-1}=\cfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

$6.~对角矩阵可逆 ~\Leftrightarrow~$ 其对角元都不为 $0$，且有：

$$A= \begin{bmatrix} d_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & d_n \end{bmatrix} ~~~~ A^{-1} = \begin{bmatrix} \cfrac{1}{d_1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \cfrac{1}{d_n} \end{bmatrix}$$

$定理：$ 若 $n$ 阶方阵 $A,B$ 都可逆，则 $AB$ 可逆，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

 

8. Gauss - Jordan 消元法

 

假设有 $3\times 3$ 矩阵 $A$，有逆矩阵 $A^{-1}$，则有：

$$AA^{-1}=A \begin{bmatrix} \boldsymbol{x_1} & \boldsymbol{x_2} & \boldsymbol{x_3} \end{bmatrix}_{A^{-1}的列向量}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{e_1} & \boldsymbol{e_2} & \boldsymbol{e_3} \end{bmatrix}_{单位矩阵}=I$$

$$A\boldsymbol{x_1}=\boldsymbol{e_1},~~A\boldsymbol{x_2}=\boldsymbol{e_2},~~A\boldsymbol{x_3}=\boldsymbol{e_3}$$

$$Multiply~ \begin{bmatrix} A~I \end{bmatrix}~by~A^{-1}~to~get~ \begin{bmatrix} I~A^{-1} \end{bmatrix}$$

$$i.e.~~ \begin{aligned} \begin{bmatrix} A~I \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix} ~\stackrel{R_2-2R_1}{\longrightarrow}~ \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix} \\\\ & \stackrel{R_2-3R_3}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I~A^{-1} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

若 $A$ 有 $AB=I$，则 $BA=I,~~B=A^{-1}$