近几日题目小记
西行寺无余涅槃
题意
给定 \(n\) 个稀疏多项式，求他们的 \(\text{xor}\) 卷积。
具体的，每个多项式中有 \(k\) 个位置有数，值域为 \([0,2^m)\) ，其中对于每个多项式的 \(k\) 个值从小到大排序后均为 \(a_0,a_1,…,a_{k-1}\) ，在第 \(i\) 个多项式中，\(a_j\) 所在位置为 \(p_{i,j}\) 。
\(m+k\leq 20,1\leq n\leq 10^6,k\leq 10\) 。
题解
暴力做法是对于每个多项式求完 \(FWT\) 后 \(IFWT\) 回去，显然这复杂度不可接受。
显然点值的不同个数为 \(2^k\) ，可以写成 \(\pm a_1\pm a_2\pm a_3\pm…\pm a_k\) 。
不妨对于每个位置单独考虑在 \(FWT\) 的结果，设 \(a_1+a_2+…+a_k\) 出现了 \(x_0\) 次，\(-a_1+a_2+…a_k\) 出现了 \(x_1\) 次，\(-a_0-a_1-…-a_k\) 出现了 \(x_{2^k-1}\) 次。
如果我们一直 \(x\) 的具体取值就很容易知道该位置 \(FWT\) 后的值。
显然有
考虑一个元素 \(\alpha\) 对答案的贡献，具体的设多项式 \(F\) ，对于 \(i\in[1,n]\) ，在 \(p_{i,\alpha}\) 的位置加一，对 \(F\) 做 \(FWT\) 的结果。
不妨令 \(\alpha=1\) ，那么该多项式的当前考虑位置值为 \(w\) ，则。
因为 \(x_0,x_2,…\) 前面的系数为 \(+1\) ，而 \(x_1,x_3,…\) 前面的系数为 \(-1\) 。
同理可以得到 \(k\) 个方程，但这远低于 \(2^k\) 。
人类智慧一下如果 \(\alpha\) 是个集合呢？
不妨设 \(\alpha=\{1,2\}\) ，那么对于 \(i\in [1,n]\) ，在 \(p_{i,1}\bigoplus p_{i,2}\) 的位置加一，对 \(F\) 做 \(FWT\) 的结果在当前考虑位置值为 \(w\) 。
由于 \(a \bigcap(b \bigoplus c)=(a\bigcap b)\bigoplus (a \bigcap c)\) ，那么表达的为 \(a_1,a_2\) 前面系数相同的做 \(+1\) ，不同为 \(-1\) 。
推广一下就可以得到 \(2^k\) 个方程，但如何快速解呢？
事实上方程的系数是 \(F={x_0,x_1,x_2,…,x_{2^k-1}}\) ，\(FWT\) 后的结果，这也很好解释。
那么只要得到该 \(2^k\) 方程系数后做 \(IFWT\) 就可以得到 \(x_0,x_1,x_2,…,x_{2^k-1}\) 的具体值。
时间复杂度 \(\mathcal O(2^k(n+2^m\cdot m))\) 。
http://121.17.168.211:30000/contest/submission/9365
2021 山东省集 易见
题意
给定长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) ，\(Q\) 组询问，每次询问一段区间内本质不同的子序列个数。
\(1\leq n,q\leq 10^6\) 。
题解
弱化版题目：「2017 山东一轮集训 Day6」子序列
本质不同子序列个数的求法可以通过建子序列自动机（模拟贪心）数 \(DAG\) 路径条数解决，或者矩阵乘法。
对于矩阵乘法，设 \(f_{i,j}\) 表示开头为 \(i\) ，预支下一个接上来的字符为 \(j\) 的方案数。
显然对于字符 \(c\) 来讲， \(f_{0,0}=f_{1,1}=f_{2,2}=…=1,f_{c,0}=f_{c,1}=f_{c,2}=…=f_{c,26}=1\) 设该矩阵为 \(G(c)\) 。
那么对于询问区间为 \([l,r]\) 来说，\(F=\prod_{i=l}^r G(S_i)\) 。 则最终答案为 \(\sum_{i=0}^{25} F_{i,26}\) 。
故我们需要快速求一段区间内矩阵乘，可以维护前缀乘与前缀矩阵逆的乘。注意 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) 。
具体的，设 \(P_i=\prod_{j=1}^i G(j),Q_i=\prod_{j=i}^1 G^{-1}(j)\) ，那么答案写成 \(Q_{l-1}\times P_r\) 。
时间复杂度 \(\mathcal O((n+q)|z|^3)\) ，仅能解决弱化版问题。https://loj.ac/s/1135303
观察一下 \(G^{-1}(c)\) 的性质，该矩阵可以写成
假设 \(|z|=4,c=2\) 。
若矩阵 \(G^{-1}(c)\times F\) ，事实上是除第 \(c\) 行其余行值不改变，而第 \(c\) 行每个值减去该列其他值。
观察一下 \(G(c)\) 的性质，该矩阵可以写成
若矩阵 \(F\times G(c)\) ，事实上是将除第 \(c\) 列其余值加上所在行的第 \(c\) 列值，第 \(c\) 列不变。
我们需要知道 \(Q_i\times P_j\) 最后一列的和，由于 \(P_j=\prod_{i=1}^j G(S_i)\) ，我们可以将 \(P_j\) 看成一个变换，将列看成整体，维护在 \(P_j\) 时是通过每列的多少系数构成的。
这很好通过 \(\mathcal O(n|z|)\) 的时间维护。
那么我们需要知道 \(Q_i\) 的每列和，这也十分好维护，时间复杂度 \(\mathcal O(n|z|)\) .
故总时间复杂度 \(\mathcal O((n+q)|z|)\) 。
PKUWC2018 Minimax
题解
显然有 \(\mathcal O(n^2)\) 树形 \(dp\) 的做法，对其做线段树合并维护乘法以及区间和可以做到 \(\mathcal O(n\log n)\) 。
PKUWC2018 随机算法
题解
显然有 \(\mathcal O(3^n)\) 的状压 \(dp\) ，但这样记录了每个点是否选择与是否在独立集中，很难得到优化。
考虑对于不在独立集中的点，它出现的位置只要比相邻第一个出现在独立集时间靠后即为合法。
那么我们仅考虑在独立集的元素为 \(S\) ，设 \(f_S\) 表示独立集为 \(S\) ，并且考虑完 \(Nex(S)\) 的方案数。其中 \(Nex(S)\) 为 \(S\) 与 \(S\) 的邻居集合。
考虑在 \(f(S)\) 后面加入元素 \(u\) ，显然需要满足 \(S\) 不存在到 \(u\) 的边，但转移到 \(f(S+u)\) 的系数是什么呢 。
设需要考虑点的个数为 \(x\) ，后面还有 \(y\) 个点没有确定位置，那么通过插板法可以得到 \(\binom{x+y}{y-1}\) 。
时间复杂度 \(\mathcal O(2^n\times n)\) 。
PKUWC2018 猎人杀
题解
啥都不会/qaq。
一个很精妙的转化是每次 \(\dfrac{w_i}{\sum w}\) 的概率选择 \(i\) ，但若已经选择则再重新选择，使得最后均被选择，概率是相同的。
对答案容斥，记 \(f(S)\) 表示在 \(1\) 号点选择前至少 \(S\) 未被选择，则
由于 \(\sum w\leq 10^5\) ，考虑枚举 \(\sum_{u\in S} w_u\) ，那么需要知道 \(\sum (-1)^{|S|}\) 。
答案可以写成 \([x^i]\prod_{i=2}^n (1-x^{w_i})\) ，分治 \(NTT\) 即可。时间复杂度 \(\mathcal O(\sum w\log^2 \sum w)\) 。
PKUWC2018 随机游走
题解
对答案 \(Min-Max\) 容斥，那么需要对每个子集 \(T\) 求出从 \(x\) 走到 \(T\) 中点停止的期望时间。
普通消元是 \(\mathcal O(n^3)\) 无法解决问题，不妨将转移写出，设 \(f_u\) 表示从 \(u\) 开始走到 \(T\) 中任意一点停止的期望时间，则
树上高斯消元很经典的套路是每个点 \(f_u\) 可以写成
其中，\(A_u,B_u\) 为常数。
证明也较为 \(\text{trival}\) ，若 \(u\) 为叶子那么 \(f_u=\frac{1}{d_u}f_{fa_u}+1\) ，\(A_u=\frac{1}{d_u},B_u=1\) 。否则
即 \(A_u=\dfrac{1}{d_u-\sum A_v},B_u=\dfrac{\sum B_v+d_u}{d_u-\sum A_v}\) 。
由于不能 \(\mathcal O(q2^n)\) ，需要 \(FWT\) 处理出答案，\(O(1)\) 回答。
时间复杂度 \(\mathcal O(2^nn+q)\) 。
PKUSC2018 最大前缀和
题解
对于 \(a\) 中仅存在一个负数的情况考虑枚举集合 \(S\) 使得 \(S\) 为最大前缀和，那么 \(S\) 的补集 \(T\) 需要满足 \(T\) 中前缀和均小于 \(0\) 。
这也是该题的解题思路。
令 \(f_S\) 表示 \(S\) 中的元素任意排列后最大前缀和为它本身的方案数，\(g_S\) 表示 \(S\) 中的元素任意排列后前缀和 \(<0\) 的方案数。
\(g_S\) 很好转移，每次往后新添一个元素看一下前缀和是否 \(<0\) ，时间复杂度 \(\mathcal O(2^nn)\) 。
对于 \(f_S\) 来说往后新添一个字符很难进行转移，但往前填就会方便转移。
具体的，设当前序列 \({a_1,a_2,…,a_k}\) ，由于 \(\sum_{i=1}^k a_i\) 为最大值那么 对于 \([2,k]\) 来说前缀最大值也应该为他本身，否则一定不优，并且 \(\sum_{i=2}^k a_i\geq 0\) ，否则仅选 \(a_1\) 即可。
那么我们只需要枚举第一个元素 \(u\) ，若 \(Sum(S)\geq 0\) ，则 \(f_{S+u}\leftarrow f_{S}\) 。
时间复杂度 \(\mathcal O(2^nn)\) 。
