AGC006F Balckout

AGC006F Balckout

题意

给定一个 $n\cdot n$ 的网格图，有些格子为黑。如果 $(x,y),(y,z)$ 均为黑，则 $(z,x)$ 也为黑，求最终黑色点的个数。

$1\leq n,m\leq 10^5$

题解

该题解主要证明其他博客上很显然的结论。。。

很容易想到若存在 $(x,y)$ 则建图 $x\rightarrow y$ 。

考虑一个弱联通图的情况，而整图的情况可以看成弱联通图的相加。

由于操作可以分为 $y$ ，指向 $y$ 的与被 $y$ 指的，有三种情况，考虑对该图三染色，即若有 $x\rightarrow y$ 那么 $col_y=col_x+1\bmod 3$ ，注意图是弱联通。

那么会发生一下三种情况之一。

- 不存在三染色，即存在一条边满足 $col_y\neq col_x+1\bmod 3$
- 存在三染色，但仅用一/两种颜色
- 存在三染色，且三种颜色均用了

先考虑情况 $2$ 和 $3$ ，最后考虑情况 $1$ 。

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情况二

结论：黑色点的个数等于原先边的个数。

若图只能用 $1/2$ 种颜色那么肯定不会存在 $x\rightarrow y,y\rightarrow z$ 的边，那么不会产生新的边，即不会有新的黑点产生。

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情况三

结论：我们设 $c_{0/1/2}$ 分别表示 $col=0/1/2$ 的个数，那么黑点个数为 $c_0c_1+c_1c_2+c_2c_0$ ，即集合按照 $0/1/2$ 顺序连边。

如果图能被三染色那么肯定存在一条链 $u\rightarrow v\rightarrow w$ 满足 $col_u=0,col_v=1,col_w=2$ 。

显然这三个点肯定满足上述结论。

考虑归纳构造，若当前图 $G$ 满足构造，新加入一条边 $u\rightarrow p$ 。（由于 $u,v,w$ 等价故我们仅用考虑 $u$ 的情况）

定义 $\{0/1/2\}$ 表示 $col=0/1/2$ 点的集合。

由于 $\{2\}\rightarrow u,u\rightarrow p$ ，那么 $p\rightarrow\{2\}$ 。

由于 $p\rightarrow \{2\},\{2\}\rightarrow \{0\}$ ，那么 $\{0\}\rightarrow p$ 。

可以发现无法存在其余边的出现，得证。

如果 $p\rightarrow u$ 类似，这里不在阐述。

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情况一

结论：黑点个数为所在弱联通块点的个数的平方。

先去考虑一个子问题，由于三染色过程形成的是一个 $dfs$ 树，而若存在矛盾仅能为返祖边，那么我们肯定能将其若联通块进行三染色并且会附赠一些矛盾的边。

若先不考虑矛盾的边那么依据情况三我们已经得到一个 $\{0\}\rightarrow \{1\},\{1\}\rightarrow \{2\},\{2\}\rightarrow \{0\}$ 的边集。

解决当前问题的小结论

先去证明一个更小的结论，若在一个三染色图上加入一个矛盾边那么肯定能让一个集合 $\{x\},x\in\{0,1,2\}$ 满足 $\{x\}\rightarrow \{x\}$ 。

证明这个也很简单，我们继续沿用情况三的 $u,v,w$ ，证明也和情况三的类似。

- 若存在 $u_1\rightarrow u_2 $ ，根据 $u_2\rightarrow \{1\}$ 可得 $\{1\}\rightarrow u_1$ ，又由于 $u_1\rightarrow \{1\}$ ，那么 $\{1\}\rightarrow \{1\}$ 。

- 若存在 $u\rightarrow w$ ，由于 $w\rightarrow u$ 可得 $u\rightarrow u$ 。可以归纳到上述证明。

得证。

继续考虑情况 $1$ 的证明，根据当前的小结论可以得到该图存在一个 $\{x\}\rightarrow \{x\}$ 的边，不妨将其设为 $\{0\}\rightarrow \{0\}$ 。

由于 $\{0\}\rightarrow\{0\},\{0\}\rightarrow \{1\}$ 可得 $\{1\}\rightarrow \{0\}$ 。

由于 $\{1\}\rightarrow \{0\},\{0\}\rightarrow \{1\}$ 可得 $\{1\}\rightarrow \{1\}$ 。

由于 $\{1\}\rightarrow \{1\},\{1\}\rightarrow \{2\}$ 可得 $\{2\}\rightarrow \{1\}$ 。

同理可得 $\{1\}\rightarrow \{2\},\{2\}\rightarrow \{2\}$ 。

由于任意两点均可以直接到达，图为完全图，那么黑点个数显然为弱联通块个数的平方。

得证。