[LOJ 6253] Yazid 的新生舞会
$solution:$
不知道为什么别人的代码能写的非常短，难道就是写差分的好处?
这种题肯定是算每个众数的贡献，考虑通过暴力众数求出个数。
现在考虑众数 $x$ ，则在序列 $a$ 中将等于 $x$ 的置为 $1$ ，否则置为 $-1$，令为序列 $A$ 。设 $S_i=\sum_{k=1}^i A_k$。
若 $[l,r]$ 是满足题意的区间，则 $S_r>S_{l-1}$ ，所以对于每个众数 $x$ ，求出满足 $i>j,S_i>S_j$ 的方案数，直接求二维偏序即可，时间复杂度 $O(n^2\log n)$ ，并不能通过本题。
但是，我们能发现一个性质,在每个 $A$ 中只会有很少的 $1$ ，与很多的 $-1$ 出现，因为 $1$ 只能在 $A$ 中出现 $n$ 次。对于连续 $-1$ 段来说不可能 $l,r$ 均在其中，并且它们的 $S$ 值是每次减一，所以考虑将它们合为一个，其 $S$ 的范围为 $[L,R]$ ，可以简单发现连续段个数与 $n$ 同阶。
考虑将 $-1$ 连续段中作为右端点对答案的贡献，设 $l,r$ 为连续段的左右端点，$L,R$ 为 $S$ 的范围，$C_i$ 为满足 $S_k=i,k\in [0,i)$ 的个数。
则容易推出$$Ans=\sum_{i=-n}^{L-1} C_i\times (R-L+1)+\sum_{i=L}^R C_i\times (R-i)\\=\sum_{i=-n}^{L-1} C_i\times (R-L+1)+\sum_{i=L}^R C_i-\sum_{i=L}^R C_i\times i$$
发现 $\sum_{i=-n}^{L-1} C_i\times (R-L+1)$ 这两个式子直接线段树区间加法维护即可，而 $\sum_{i=L}^R C_i\times i$ 直接线段树上维护等差数列即可。
现在考虑完右端点在 $-1$ 的情况，而右端点在 $1$ 时直接线段树查询 $[-n,S_{i}-1]$ 即可。
因为区间段与 $n$ 同阶，所以时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #define int long long using namespace std; inline int read(){ int f=1,ans=0;char c=getchar(); while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();} return f*ans; } const int MAXN=1000001; int n,a[MAXN]; vector<int> ve[MAXN]; struct Segment1{ int Ans[MAXN<<2],Beg[MAXN<<2],D[MAXN<<2],qx[MAXN],qy[MAXN],qbe[MAXN],qd[MAXN],tot; inline void clear(){ for(int i=1;i<=tot;i++) Modify(1,0,2*n,qx[i],qy[i],-qbe[i],-qd[i]); tot=0; } inline void pushdown(int k,int l,int r){ int mid=l+r>>1; if(!Beg[k]&&!D[k]) return; Ans[k<<1]+=Beg[k]*(mid-l+1)+((((mid-l+1)*(mid-l))/2)*D[k]); Ans[k<<1|1]+=Beg[k]*(r-mid)+((((r+mid-2*l+1)*(r-mid))/2)*D[k]); Beg[k<<1]+=Beg[k],Beg[k<<1|1]+=Beg[k]+(mid+1-l)*D[k]; D[k<<1]+=D[k],D[k<<1|1]+=D[k]; Beg[k]=D[k]=0; return; } inline void Modify(int k,int l,int r,int x,int y,int be,int d){ if(x<=l&&r<=y){ Ans[k]+=((r-l+1)*be)+(((((l+r)*(r-l+1))/2)-(x*(r-l+1)))*d); Beg[k]+=(be+(l-x)*d); D[k]+=d; return; } pushdown(k,l,r); int mid=l+r>>1; if(x<=mid) Modify(k<<1,l,mid,x,y,be,d); if(mid<y) Modify(k<<1|1,mid+1,r,x,y,be,d); Ans[k]=Ans[k<<1]+Ans[k<<1|1]; return; } inline int Query(int k,int l,int r,int x,int y){ if(x<=l&&r<=y) return Ans[k]; pushdown(k,l,r); int mid=l+r>>1,res=0; if(x<=mid) res+=Query(k<<1,l,mid,x,y); if(mid<y) res+=Query(k<<1|1,mid+1,r,x,y); Ans[k]=Ans[k<<1]+Ans[k<<1|1];return res; } inline void add(int x,int y,int be,int d){ qx[++tot]=x+n;qy[tot]=y+n;qbe[tot]=be,qd[tot]=d; Modify(1,0,2*n,x+n,y+n,be,d);return; } inline int Q(int x,int y){ return Query(1,0,2*n,x+n,y+n); } }segment1; struct Segment2{ int Ans[MAXN<<2],tag[MAXN<<2]; int qx[MAXN],qy[MAXN],qw[MAXN],tot; inline void clear(){ for(int i=1;i<=tot;i++) Modify(1,0,2*n,qx[i],qy[i],-qw[i]); tot=0; } inline void pushdown(int k,int l,int r){ if(!tag[k]) return; int mid=l+r>>1; Ans[k<<1]+=tag[k]*(mid-l+1);Ans[k<<1|1]+=tag[k]*(r-mid); tag[k<<1]+=tag[k],tag[k<<1|1]+=tag[k]; tag[k]=0;return; } inline void Modify(int k,int l,int r,int x,int y,int w){ if(x<=l&&r<=y){ tag[k]+=w; Ans[k]+=(r-l+1)*w;return; } pushdown(k,l,r); int mid=l+r>>1; if(x<=mid) Modify(k<<1,l,mid,x,y,w); if(mid<y) Modify(k<<1|1,mid+1,r,x,y,w); Ans[k]=Ans[k<<1]+Ans[k<<1|1];return; } inline int Query(int k,int l,int r,int x,int y){ if(x<=l&&r<=y) return Ans[k]; pushdown(k,l,r); int mid=l+r>>1,res=0; if(x<=mid) res+=Query(k<<1,l,mid,x,y); if(mid<y) res+=Query(k<<1|1,mid+1,r,x,y); Ans[k]=Ans[k<<1]+Ans[k<<1|1];return res; } inline void add(int x,int y,int w){ qx[++tot]=x+n,qy[tot]=y+n,qw[tot]=w; Modify(1,0,2*n,x+n,y+n,w);return; } inline int Q(int x,int y){ return Query(1,0,2*n,x+n,y+n); } }segment2; int Ans; signed main(){ // freopen("1.in","r",stdin); n=read();read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),ve[a[i]].push_back(i); for(int i=0;i<n;i++){ int siz=ve[i].size(); if(!siz) continue; int l=1,r=-1; segment1.clear(); segment2.clear(); segment1.add(0,0,0,1); segment2.add(0,0,1); for(int j=0;j<siz;j++){ int u=ve[i][j]; r=u-1; if(j!=0) l=ve[i][j-1]+1; else l=1; if(l<=r){ int L=-l+j*2,R=-r+j*2; if(L>R) swap(L,R); Ans+=segment2.Q(-n,L-1)*(R-L+1); Ans+=R*segment2.Q(L,R); Ans-=segment1.Q(L,R); segment1.add(L,R,L,1); segment2.add(L,R,1); } int Psum=-u+2*(j+1); Ans+=segment2.Q(-n,Psum-1); segment1.add(Psum,Psum,Psum,1); segment2.add(Psum,Psum,1); } l=ve[i][siz-1]+1,r=n; if(l<=r){ int L=-l+siz*2,R=-r+siz*2; if(L>R) swap(L,R); Ans+=segment2.Q(-n,L-1)*(R-L+1); Ans+=R*segment2.Q(L,R);; Ans-=segment1.Q(L,R); segment1.add(L,R,L,1); segment2.add(L,R,1); } }printf("%lld\n",Ans);return 0; }
