[SDOI2011]消耗战

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题目大意

若有一颗带边权的树，且每次询问$k$个节点，问$k$个节点均不与1号节点相连的最小边权。

试题分析

考虑暴力$dp$,设$dp_i$为处理好i的子树的最小边权，我们定义$val_i$为从$i$到根的最小边权，则$dp_i=min(\sum dp_v,val_i)$。

但是发现其实有一些节点是没有用的，有用的其实是$lca$。并且发现$\sum k_i  \leq 5\times 10^5$，所以就可以将树进行简化。

所以就有一个算法诞生了，虚树。我们用欧拉序建出一颗只包含有用节点的树，然后再暴力$dp$就行。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<stack>
#define int long long
#include<climits>
using namespace std;
inline int read(){
    int f=1,ans=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();}
    return f*ans;
}
const int N=500001;
struct node{
    int u,v,w,nex;
}x[N<<1];
int val[N],head[N],n,fa[N][21],deep[N],num,in[N],out[N],cnt,q;
void dfs(int f,int fath,int W){
    val[f]=min(val[fath],W);
    deep[f]=deep[fath]+1,in[f]=++num;
    fa[f][0]=fath;
    for(int i=1;(1<<i)<=deep[f];i++) fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1];
    for(int i=head[f];i!=-1;i=x[i].nex){
        if(x[i].v==fath) continue;
        dfs(x[i].v,f,x[i].w);
    }
    out[f]=++num;
}
void add(int u,int v,int w){
    x[cnt].u=u,x[cnt].v=v,x[cnt].w=w,x[cnt].nex=head[u],head[u]=cnt++;
}
int book[N],sta[N];
bool cmp(int x,int y){
    int s1,s2;
    if(x>0) s1=in[x];else s1=out[-x];
    if(y>0) s2=in[y];else s2=out[-y];
    return s1<s2;
}
int lca(int u,int v){
    if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(deep[u]-(1<<i)>=deep[v]) u=fa[u][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(fa[u][i]==fa[v][i]) continue;
        u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    }return fa[u][0];
}
stack<int> s;
int dp[N];
signed main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();val[0]=LLONG_MAX;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u=read(),v=read(),w=read();
        add(u,v,w),add(v,u,w);
    }q=read();
    dfs(1,0,LLONG_MAX);
    while(q--){
         int st=read();
         for(int i=1;i<=st;i++) sta[i]=read(),book[sta[i]]=1,dp[sta[i]]=val[sta[i]];
         sort(sta+1,sta+st+1,cmp);
         for(int i=1;i<st;i++){
             int Lca=lca(sta[i],sta[i+1]);
             if(!book[Lca]){book[Lca]=1;sta[++st]=Lca;}
         }
         int Now=st;
         for(int i=1;i<=Now;i++) sta[++st]=-sta[i];
         if(!book[1]) sta[++st]=1,sta[++st]=-1;
         sort(sta+1,sta+st+1,cmp);
         for(int i=1;i<=st;i++){
             if(sta[i]>0) s.push(sta[i]);
             else{
                 int f=s.top();s.pop();
                 if(f!=1){int fath=s.top();dp[fath]+=min(dp[f],val[f]);}
                 else{printf("%lld\n",dp[1]);}
                 dp[f]=book[f]=0;
             }
        }
    }
}