博弈论

博弈论

　　最近流言四起,说$NOIP$要考博弈论,那就学一下吧.

一、博弈树：

　　非常奇怪的是，博弈树不是树。

　　博弈树是一张有向图，上面的每个节点代表了博弈的一个局面，它的游戏值是指从这一点出发，采取最优策略，某一方能够获得的分数。博弈树的叶子结点是指没有任何后继节点的局面。如果博弈树上表示的是$A$可以获得的分数,那么每次轮到$B$操作时必然选择后继节点中游戏值最小的那个,$A$必然选择后继节点中游戏值最大的那个,利用这个可以进行搜索剪枝.例如甲结点是一个$min$状态,它的后继状态乙是一个$max$状态,甲结点目前已经搜到的游戏值是$5$,乙已经搜到的是$6$,那么乙绝不可能更新甲,此时如果乙的子树内还有没搜过的点也可以不用搜了,这就是$Alpha-Beta$剪枝(然而写起来好像挺麻烦的).

　　一个比较简单但是很重要的结论:

　　对于一个节点$u$,如果存在一个后继节点是必败态,那么它就是必胜态;

　　对于一个节点$u$,如果任意后继节点都是必胜态,那么它是必败态;

　　为什么?对于第一种情况,只要转移到必败态的那个子节点,轮到下一个玩家操作时摆在面前的就是必败态了;对于第二种情况,无论转移到哪个节点,下一个玩家都是必胜,那么本次的玩家就必败了.好像很显然的样子.