$Gauss$消元

$Gauss$消元

　　今天金牌爷来问我一个高消的题目,我才想起来忘了学高消...

　　高斯消元用于解线性方程组，也就是形如：

　　$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+...+a_{3n}x_n=b_3\end{matrix}\right.$​

　　好像也可以写成这样：

　　$AX=B$

　　其实就是小学学的加减消元...

　　举个栗子:

　　$\left\{\begin{matrix}3x_1+2x_2=5\\ 2x_1+3x_2=10\\\end{matrix}\right.$

　　首先从第一列开始，找到第一项系数的绝对值最大的一行放到第一行，把这个系数除去(系数化为$1$):

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\ 2x_1+3x_2=10\\\end{matrix}\right.$

　　发现第二行减去两个第一行就可以消掉第一个未知数,那么就减掉两个好咯:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space \frac{5}{3}x_2=\frac{20}{3}\\\end{matrix}\right.$

　　再消掉第二行的系数:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}x_2=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　现在就解出了第二个未知数,再从底往上代回去:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1+\frac{2}{3}\times 4=\frac{5}{3}\\\ \quad \space \space x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　依次解出所有的未知数即可:

　　$\left\{\begin{matrix}x_1=-1\\\ x_2=4\\\end{matrix}\right.$

　　为什么要将系数绝对值最大的一项作为主元进行消元呢?因为实际做题中用的不是分数而是浮点数,有误差的问题,如果用于消元的主元太接近零,那么下一行就需要减掉非常多倍的上一行,导致精度大量损失.

　　怎样判断无解:如果消元结束后发现有一行的系数全为$0$,但是此行的$b$不为$0$,那么未知数取任何值都不满足要求;

　　怎样判断无穷组解:如果消元结束后有一行系数全为$0$,$b$也是$0$,那么可以随意取值.

　　也就是平时数学中做题可能会碰到的“两个方程左边的本质是相同的，但是答案却不相同，就无解，如果答案相同，说明有$n$个未知数,限制条件却少于$n$个，此时有多组解”。

　　注意一点:如果有的方程无解,有的有多组解,总方程组还是无解,所以先判断无解再判断多解.

　　

　　线性方程组:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2455

　　题意概述:完全的模板题.

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <queue>
# include <cstring>
# include <cmath>
# include <string>
# define R register int
# define ll long long

using namespace std;

const double eps=0.0000001;
const int maxn=101;
int n,cnt,None,Endless;
bool fre[maxn];
double A[maxn][maxn],x,ans[maxn];

void Gauss()
{
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        int id=i;
        for (R j=i+1;j<=n;++j)
            if(fabs(A[id][i])<fabs(A[j][i])) id=j;
        for (R j=1;j<=n+1;++j)
            swap(A[i][j],A[id][j]);
        if(fabs(A[i][i])<eps) continue;
        x=A[i][i];
        for (R j=1;j<=n+1;++j) A[i][j]/=x;
        for (R j=1;j<=n;++j)
        {
            if(i==j) continue;
            x=A[j][i];
            for (R k=1;k<=n+1;++k)
                A[j][k]-=x*A[i][k];
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=1;j<=n+1;++j)
            scanf("%lf",&A[i][j]);
    Gauss();
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        R j=1;
        while (fabs(A[i][j])<eps&&j<=n+1) j++;
        if(j>n+1) Endless=1;
        else if(j==n+1) None=1; 
    }
    if(None) { printf("-1"); return 0; }
    if(Endless) { printf("0"); return 0; }
    for (R i=n;i>=1;--i)
    {
        ans[i]=A[i][n+1];
        for (R j=i-1;j>=1;--j)
        {
            A[j][n+1]-=ans[i]*A[j][i];
            A[j][i]=0;
        }
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        printf("x%d=%.2lf\n",i,ans[i]);
    return 0;
}

 　　

　　游走:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3143

　　题意概述：给定一张$n$个点$m$条边的无向简单连通图,从一号点出发,每次从这个点发出的所有边中随机选择一条走过去,到达$n$之后就不再走了,要求给每一条边赋一个独特的,$[1,m]$的权值,使得整条路径上期望的权值总和最小.

　　为什么要做这道题呢?$shzr:$我学了高斯消元;$asuldb$:高斯消元有什么用啊,又不能做题;$shzr$:点开"线性方程组";$asuldb$:那有什么用啊,你除了会做模板题还是什么都不会啊,你会用高斯消元做期望吗?$shzr$:...

　　也许这题应该放到期望的标签下? 首先根据期望的线性可加性,权值和的期望等于权值的期望和,所以可以对于每一条边分别计算贡献.每一条边的贡献就是经过这一条边的期望次数乘上它的权值;这时贪心策略就很明显了,首先求出每条边的期望经过次数,按照这个次数进行排序,出现次数多的优先赋值小权值即可.那么怎样计算一条边的贡献呢?一条边有两个端点,经过它必然是从某一个端点走过来的,假设我们已经计算出了每个点的期望经过次数记作$E_i$,每个点的度数记为$d_i$,那么对于一条端点为$x,y$的边,它的期望经过次数就是$\frac{E_x}{d_x}+\frac{E_y}{d_y}$.

　　如何计算每个点的期望经过次数?枚举每一个与它有边相连的点，它的经过次数就是$E_u=\sum_{v->u}\frac{E_v}{d_v}$，到这里问题就完美解决了。

　　然而你可能突然发现这道题是无向图，事情并没有那么简单·_· 每个点之间的相互关系不仅无法进行拓扑排序而且错综复杂，问题进行到这里我们好像陷入了知识盲区。但是仔细整理思路可以发现虽然每个点互相关联，但是却正好组成了一个$N$元一次方程组,$N$个方程,于是可以使用高斯消元.因为走到第$n$个点就不能再走了,这个点不能计算贡献,所以可以直接在矩阵中删去这个点.因为第一个点是开始点,所以除了从别的点到这里的贡献之外还另外有一个$1$,不要忘了.初始化矩阵时要注意:第$x$行的方程是用于计算第$x$个未知数的,第$y$列的系数是对于第$y$个未知数给出去的贡献的,不要写反了.

for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        if(x[i]==n||y[i]==n) continue;
        a[ x[i] ][ y[i] ]-=1.0/d[ y[i] ]; //注意这里
        a[ y[i] ][ x[i] ]-=1.0/d[ x[i] ]; //
    }

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <algorithm>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=502;
int u,v,n,m,h,firs[maxn],d[maxn];
double a[maxn][maxn],ans[maxn];
int x[maxn*maxn],y[maxn*maxn];
double co[maxn*maxn];

double ab (double a) { if(a<0) return -a; return a; }

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        x[++h]=u;
        y[h]=v;
        d[u]++,d[v]++;
    }
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        if(x[i]==n||y[i]==n) continue;
        a[ x[i] ][ y[i] ]-=1.0/d[ y[i] ];
        a[ y[i] ][ x[i] ]-=1.0/d[ x[i] ];
    }
    for (R i=1;i<n;++i)
        a[i][i]=1.0;
    a[1][n]=1.0;
    for (R i=1;i<n;++i)
    {
        int maxx=i;
        for (R j=i+1;j<n;++j)
            if(ab(a[maxx][i])<ab(a[j][i])) maxx=j;
        swap(a[i],a[maxx]);
        double x;
        for (R j=i+1;j<n;++j)
        {
            x=a[j][i]/a[i][i];
            for (R k=i;k<=n;++k)
                a[j][k]-=a[i][k]*x;
        }
    }
    for (R i=n-1;i>=1;--i)
    {
        for (R j=i+1;j<n;++j) a[i][n]-=a[i][j]*ans[j];
        ans[i]=a[i][n]/a[i][i];
    }
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        co[i]+=ans[ x[i] ]/d[ x[i] ];
        co[i]+=ans[ y[i] ]/d[ y[i] ];
    }
    double fans=0;
    sort(co+1,co+1+m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
        fans+=co[i]*(m-i+1);
    printf("%.3lf",fans);
    return 0;
}

---shzr