Tarjan-缩点

　　$Tarjan$缩点

　　Tarjan的第二个应用就是求缩点啦。缩点虽然比割点麻烦一点，但是用处也比割点要大不少。

　　本来要学另外两个缩点算法的,但是似乎没什么用...$MST$里确实有只能有$prim$或者只能用$kruscal$的题目，但是这三种缩点...在网上没有找到介绍它们之间作用差异的文章,可能真的没有什么区别吧.

　　缩点是对于有向图来说的。首先什么是强连通分量：里面的点两两之间互相可达。如果一道题中互相可达的点有某种神秘的联系(一个强连通分量等价于一个点的作用)时，就可以进行缩点。那么缩点有什么好处呢，显而易见的是可以快，把一些等价的点的操作一起做了，还有一个就是缩完点之后的图必然是一个$Dag$，可以在上面跑一些拓扑排序啊，$dp$啊之类的东西。　　

---

　　首先先看一个模板吧：

　　缩点：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3387

　　题意概述：缩点后跑dp，求点权最大的路径，每个点的点权只算一次；

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

int H,k,bp,cnt,h,Top=0,n,m,x,y,a[10009],firs[10009],Firs[10009],sta[10009];
int id[10009],low[10009],vis[10009],A[10009];
int dp[10009],color[10009],r[10009],q[100009];
struct edge
{
    int too,nex;
}g[100009],G[100009];

void add1(int x,int y)
{
    g[++h].too=y;
    g[h].nex=firs[x];
    firs[x]=h;
}

void add2(int x,int y)
{
    G[++H].too=y;
    G[H].nex=Firs[x];
    Firs[x]=H;
}

void dfs(int x)
{
    low[x]=id[x]=++cnt;
    vis[x]=1;
    sta[++Top]=x;
    int j;
    for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
    {
        j=g[i].too;
        if(!id[j])
        {
            dfs(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
        else
        {
            if(vis[j]) low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
    }
    if(id[x]==low[x])
    {
        bp++;
        color[x]=bp;
        A[bp]+=a[x];
        vis[x]=0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            color[ sta[Top] ]=bp;
            A[bp]+=a[ sta[Top] ];
            vis[ sta[Top] ]=0;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add1(x,y);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) dfs(i);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=firs[i];j;j=g[j].nex)
        {
            k=g[j].too;
            if(color[i]!=color[k]) add2(color[i],color[k]),r[ color[k] ]++;
        }
    int num=0;
    for (R i=1;i<=bp;++i)
        if(!r[i]) q[++num]=i,dp[i]=A[i];
    for (R i=1;i<=num;++i)
    {
        for (R j=Firs[ q[i] ];j;j=G[j].nex)
        {
            k=G[j].too;
            r[k]--;
            dp[k]=max(dp[k],dp[ q[i] ]+A[k]);
            if(!r[k]) q[++num]=k;
        }
    }
    int ans=dp[1];
    for (R i=2;i<=bp;i++)
        ans=max(ans,dp[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

　　牛的舞会：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2863

　  题意概述：找到大小大于1的强连通分量个数。

　　板子题*2，再开一个数组记录每个连通分量的大小就行啦。

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=10009;
int num=0,x,y,h,n,m;
int Ans=0,ans[maxn],cnt=0,Top=0,color[maxn],sta[maxn],vis[maxn],id[maxn],low[maxn],firs[maxn];
struct edge
{
    int too,nex;
}g[50009];

inline void add(int x,int y)
{
    g[++h].too=y;
    g[h].nex=firs[x];
    firs[x]=h;
}

inline void dfs(int x)
{
    id[x]=low[x]=++cnt;
    vis[x]=true;
    sta[++Top]=x;
    int j;
    for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
    {
        j=g[i].too;
        if(!id[j])
        {
            dfs(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
        else
        {
            if(vis[j])
                low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
    }
    if(id[x]==low[x])
    {
        color[x]=++num;
        vis[x]==0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            color[ sta[Top] ]=num;
            vis[ sta[Top] ]=0;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) dfs(i);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        ans[ color[i] ]++;
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(ans[i]>1) Ans++;
    cout<<Ans;
    return 0;
}

 

　　受欢迎的牛：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2341

　　题意概述：求图中某种点的个数（其余所有的点都可以通过某些路径到达它这里的点）。

　　因为路径可以绕来绕去，所以一个强连通分量里的点要么全是这种点，要么全都不是。如果一个强连通分量有出边，它必然不是一个受欢迎的强连通分量（它连出去的边一定没有连回来，否则就合成同一个连通分量了）。也就是说，找到唯一一个出度为$0$的强连通分量，它的大小就是答案。如果有不止一个这样的分量，说明图不连通，答案为$0$。

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

int n,m,h,x,y,firs[10009],a[10009];
int id[10009],low[10009],vis[10009],sta[10009];
int color[10009],cnt,bp,Top;
int c[10009];
struct edge
{
    int too,nex;
}g[50009];

void add(int x,int y)
{
    g[++h].too=y;
    g[h].nex=firs[x];
    firs[x]=h;
}

void dfs(int x)
{
    id[x]=low[x]=++cnt;
    vis[x]=true;
    sta[++Top]=x;
    int j;
    for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
    {
        j=g[i].too;
        if(!id[j])
        {
            dfs(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
        else
        {
            if(vis[j])
                low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
    }
    if(low[x]==id[x])
    {
        color[x]=++bp;
        a[bp]++;
        vis[x]=0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            color[ sta[Top] ]=bp;
            a[bp]++;
            vis[ sta[Top] ]=0;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) dfs(i);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=firs[i];j;j=g[j].nex)
        {
            if(color[i]!=color[ g[j].too ])
                c[ color[ i ] ]++; 
        }
    int ans=0;
    for (R i=1;i<=bp;++i)
    {
        if(c[i]==0) 
        {
            if(ans==0) ans=a[i];
            else
            {
                printf("0");
                return 0;
            }
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

　　在农场万圣节：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2921

   题意概述：给定一张有向图，求从每个点出发路过的点的个数。（每个点的后继唯一，不能走重复点）。

　 看起来缩点非常可行，且走进一个分量就出不来了，所以缩点后进行记忆化搜索就可以啦。这道题有一个简化的地方，每个点只有单一的后继，所以不用前向星，只用一个$nex$数组也是完全可以的。

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=100009;
int n,cnt,bp,Top;
int nex[maxn],vis[maxn],A[maxn],dp[maxn];
int low[maxn],id[maxn],sta[maxn],color[maxn];
int Nex[maxn],touc[maxn];

void dfs(int x)
{
    id[x]=low[x]=++cnt;
    vis[x]=1;
    sta[++Top]=x;
    if(!id[ nex[x] ])
    {
        dfs(nex[x]);
        low[x]=min(low[x],low[ nex[x] ]);
    }
    else
    {
        if(vis[ nex[x] ]) low[x]=min(low[x],low[ nex[x] ]);
    }
    if(low[x]==id[x])
    {
        color[x]=++bp;
        A[bp]++;
        vis[x]=0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            color[ sta[Top] ]=bp;
            vis[ sta[Top] ]=0;;
            A[bp]++;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

int find_out(int x)
{
    if(touc[x]) return dp[x];
    if(Nex[x]==0) 
    {
        touc[x]=true;
        return dp[x];
    }
    dp[x]+=find_out(Nex[x]);
    touc[x]=true;
    return dp[x];
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&nex[i]);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) dfs(i);
    for (R i=1;i<=n;++i)
    {
        if(color[i]!=color[ nex[i] ])
            Nex[ color[i] ]=color[ nex[i] ];
        dp[ color[i] ]=A[ color[i] ];
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        printf("%d\n",find_out(color[i]));
    return 0;
}

 

　　最大半联通子图:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2272

　　题意概述:图中极大半联通子图计数.半联通子图:对于每个无序点对$(u,v)$,满足其中一个点可以到达另一个点.

　　不难看出强连通分量里的点都是满足条件的,而且一条缩点后的链都是满足条件的,也就是最长链计数.注意重连边时可能会出现重边,排序,去重即可.

　　

// luogu-judger-enable-o2
# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <cmath>
# include <algorithm>
# include <string>
# include <bitset>
# include <queue>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=100005;
const int maxm=1000006;
int k,a,b,n,m,x,h,h2,firs[maxn],firs2[maxn],cnt;
int r[maxn],id[maxn],low[maxn],color[maxn],siz[maxn],sta[maxn],bp,Top,vis[maxn];
int dp[maxn],f[maxn],ans1,ans2;
queue <int> q;
bitset <maxn> t;
struct edge
{
    int too,nex;
}g[maxm],g2[maxm];

void dfs (int x)
{    
    low[x]=id[x]=++cnt;
    vis[x]=true;
    sta[++Top]=x;
    int j;
    for (R i=firs[x];i;i=g[i].nex)
    {
        j=g[i].too;
        if(!id[j])
            dfs(j),low[x]=min(low[x],low[j]);
        else
            if(vis[j]) low[x]=min(low[x],low[j]);
    }
    if(low[x]==id[x])
    {
        color[x]=++bp;
        siz[bp]++;
        vis[x]=0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            color[ sta[Top] ]=bp;
            vis[ sta[Top] ]=0;
            siz[bp]++;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

void add1 (int x,int y)
{    
    g[++h].too=y;
    g[h].nex=firs[x];
    firs[x]=h;
}

void add2 (int x,int y)
{
    g2[++h2].too=y;
    g2[h2].nex=firs2[x];
    firs2[x]=h2;
}

inline char gc()
{
  static char now[1<<22],*S,*T;
  if (T==S)
  {
    T=(S=now)+fread(now,1,1<<22,stdin);
    if (T==S) return EOF;
  }
  return *S++;
}
inline int read()
{
  R x=0,f=1;
  register char ch=gc();
  while(!isdigit(ch))
  {
    if (ch=='-') f=-1;
    ch=gc();
  }
  while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=gc();
  return x*f;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        a=read(),b=read();
        add1(a,b);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) dfs(i);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=firs[i];j;j=g[j].nex)
        {
            k=g[j].too;
            if(color[i]==color[k]) continue;
            add2(color[i],color[k]);
        }
    for (R i=1;i<=bp;++i)
    {
        for (R j=firs2[i];j;j=g2[j].nex)
        {
            k=g2[j].too;
            if(t[k]) g2[j].too=0;
            else r[k]++;
            t[k]=true;
        }
        for (R j=firs2[i];j;j=g2[j].nex)
        {
            k=g2[j].too;
            t[k]=false;
        }
    }
    for (R i=1;i<=bp;++i)
        if(!r[i]) q.push(i),dp[i]=siz[i],f[i]=1;
    int beg,j;
    while (q.size())
    {
        beg=q.front();
        q.pop();
        for (R i=firs2[beg];i;i=g2[i].nex)
        {
            j=g2[i].too;
            if(dp[beg]+siz[j]>dp[j]) dp[j]=dp[beg]+siz[j],f[j]=f[beg];
            else if(dp[beg]+siz[j]==dp[j]) f[j]=(f[j]+f[beg])%x;
            r[j]--;
            if(!r[j]) q.push(j);
        }
    }
    for (R i=1;i<=bp;++i)
    {
        if(dp[i]>ans1)
            ans1=dp[i],ans2=f[i];
        else if(dp[i]==ans1)
            ans2=(ans2+f[i])%x;
    }
    printf("%d\n%d",ans1,ans2);
    return 0;
}

 

　　抢掠计划:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3627

　　题意概述:缩点+dp.

　　这道题的关键点:源点是给定的；

　　注意最开始入队的时候和平常没有什么区别，但是要单独维护一个$f$数组表示能否从源点到达这个地方.

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <queue>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=500005;
int TO[maxn],n,m,x,y,s,p,cnt,bp,vis[maxn],v[maxn],id[maxn],low[maxn],col[maxn],A[maxn],ans,sta[maxn],r[maxn],dp[maxn],Top,goa[maxn];
struct edge
{
    int too,nex;
};
int q[maxn],h,t;
namespace bef
{
    int h=0,firs[maxn]={0};
    edge g[maxn];
    void add (int x,int y)
    {
        g[++h].nex=firs[x];
        firs[x]=h;
        g[h].too=y;
    }
}
namespace aft
{
    int h=0, firs[maxn]={0};
    edge g[maxn];
    void add(int x, int y)
    {
        g[++h].nex=firs[x];
        firs[x]=h;
        g[h].too=y;
    }
}

void Tarjan (int x)
{
    id[x]=low[x]=++cnt;
    sta[++Top]=x;
    vis[x]=1;
    int j;
    for (R i=bef::firs[x];i;i=bef::g[i].nex)
    {
        j=bef::g[i].too;
        if(!id[j])
        {
            Tarjan(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
        else
        {
            if(vis[j]) low[x]=min(low[x],id[j]);
        }
    }
    if(low[x]==id[x])
    {
        col[x]=++bp;
        A[bp]+=v[x];
        vis[x]=0;
        while (sta[Top]!=x)
        {
            A[bp]+=v[ sta[Top] ];
            col[ sta[Top] ]=bp;
            vis[ sta[Top] ]=0;
            Top--;
        }
        Top--;
   }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        bef::add(x,y);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&v[i]);
    scanf("%d%d",&s,&p);
    for (R i=1;i<=p;++i)
        scanf("%d",&goa[i]);
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) Tarjan(i);
    int beg,k;
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=bef::firs[i];j;j=bef::g[j].nex)
        {
            k=bef::g[j].too;
            if(col[i]!=col[k]) aft::add(col[i],col[k]),r[ col[k] ]++;

        }
    for (R i=1;i<=bp;++i)
        if(!r[i]) q[++t]=i;
    h=1;
    dp[ col[s] ]=A[ col[s] ];
    TO[ col[s] ]=1;
    while (h<=t)
    {
        beg=q[h];
        h++;
        for (R i=aft::firs[beg];i;i=aft::g[i].nex)
        {
            k=aft::g[i].too;
            r[k]--;
            if(TO[beg])
            {
                TO[k]=true;
                dp[k]=max(dp[k],dp[beg]+A[k]);
            }
            if(!r[k]) q[++t]=k;
        }
    }
    for (R i=1;i<=p;++i)
        ans=max(ans,dp[ col[ goa[i] ] ]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

　　

　　间谍网络:https://loj.ac/problem/10095

　　首先缩点,然后找到入度为$0$的点收买即可.对于一个强联通分量里的点,如果要收买只需要收买那个最便宜的即可.

　　

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <queue>
# define R register int

using namespace std;

const int maxn=3003;
const int maxm=8003;
int n,p,x,y,v,m,h,cnt,beg,ans;
int a[maxn],id[maxn],low[maxn],sta[maxn],Top,vis[maxn],col[maxn],A[maxn],bp,r[maxn],tr[maxn];
struct edge
{
    int too,nex;
};
queue <int> q;

namespace shzr
{
    int firs[maxn],h;
    edge g[maxm];
    void add (int x,int y)
    {
        g[++h].too=y;
        g[h].nex=firs[x];
        firs[x]=h;
    }
}
namespace asu
{
    int firs[maxn],h;
    edge g[maxm];
    void add (int x,int y)
    {
        g[++h].too=y;
        g[h].nex=firs[x];
        firs[x]=h;
    }
}

void Tarjan (int x)
{
    id[x]=low[x]=++cnt;
    sta[++Top]=x;
    vis[x]=1;
    int j;
    for (R i=shzr::firs[x];i;i=shzr::g[i].nex)
    {
        j=shzr::g[i].too;
        if(!id[j])
        {
            Tarjan(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);
        }
        else
        {
            if(vis[j]) low[x]=min(low[x],id[j]);
        }
    }
    if(low[x]==id[x])
    {
        col[x]=++bp;
        A[bp]=a[x];
        vis[x]=false;
        while(sta[Top]!=x)
        {
            col[ sta[Top] ]=bp;
            if(A[bp]==-1) A[bp]=a[ sta[Top] ];
            else if(a[ sta[Top] ]!=-1) A[bp]=min(A[bp],a[ sta[Top] ]); 
            vis[ sta[Top] ]=false;
            Top--;
        }
        Top--;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    memset(a,-1,sizeof(a));
    for (R i=1;i<=p;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&v);
        a[x]=v;
    }
    scanf("%d",&m);
    for (R i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        shzr::add(x,y);
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(!id[i]) Tarjan(i);
    int k;
    for (R i=1;i<=n;++i)
        for (R j=shzr::firs[i];j;j=shzr::g[j].nex)
        {
            k=shzr::g[j].too;
            if(col[i]==col[k]) continue;
            asu::add(col[i],col[k]);
            r[ col[k] ]++;
        }
    for (R i=1;i<=bp;++i)
        if(!r[i]) q.push(i);
    while(q.size())
    {
        beg=q.front();
        q.pop();
        if(tr[beg]==false&&A[beg]!=-1) ans+=A[beg],tr[beg]=true;
        for (R i=asu::firs[beg];i;i=asu::g[i].nex)
        {
            k=asu::g[i].too;
            tr[k]|=tr[beg];
            r[k]--;
            if(!r[k]) q.push(k);
        }
    }
    for (R i=1;i<=n;++i)
        if(tr[ col[i] ]==false)
        {
            printf("NO\n%d",i);
            return 0;
        }
    printf("YES\n%d",ans);
    return 0;
}

 　---shzr