平方和公式
x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}
这个式子怎么计算?
1.for循环:复杂度 O(n)
2.公式:\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}
证明_摘自milky-way学姐的博客:
关于二阶等差数列:
a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2}
证明:a_{2}-a_{1}=k,a_{3}-a_{2}=k+d,……,a_{n}-a_{n-1}=k+(n-2)d;
a_{n}-a_{1}=k+(n-2)d+k+(n-3)d + …… +k+d;
a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2};
x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
证明:a_{1}=1,a_{n}-a_{n-1}=2n-1;
a_{1}+...+a_{n}=2*1-1+...+(2*1-1+2*2-1+2*3-1+...+2*n-1);
=(1*2-1)+(2*3-2)+...+[n*(n+1)-n];
=(1*2)+(2*3)+(3*4)+... +n*(n+1)-\frac{n(n+1)}{2};
=\frac{(1*2*3-0*1*2+...+n(n+1)(n+2)-n(n-1)(n+1))}{3}-\frac{n(n+1)}{2};
=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6};
然后就是非常巧妙而且感觉很(梦幻?)的三角形证明了:
想象一下三个三角形叠在一起!对应位置相加,每个位置都是2n+1,有\frac{n(n+1)}{2}个位置,最后因为是三个三角形相加再除3,答案就出来啦,这个方法真的是很巧妙啊。
最后说一句:http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php这个编辑器还是很不错的...
2018.8.9更新:
今天听课讲到了这道题,其实立方和也有公式,一般地,对于x次方和,就会有一个x+1次的多项式可以用来直接求和,可以用拉格朗日插值法求出多项式系数。
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