平方和公式

$x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}$

 

这个式子怎么计算？

1.for循环：复杂度 $O(n)$

2.公式：$\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$

证明_摘自milky-way学姐的博客：

　　　关于二阶等差数列：

　　　　$a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2} $

 

　　　　证明:$a_{2}-a_{1}=k，a_{3}-a_{2}=k+d，……，a_{n}-a_{n-1}=k+(n-2)d$；

　　　　　　 $a_{n}-a_{1}=k+(n-2)d+k+(n-3)d + …… +k+d$；

　　　　　　 $a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2}$;

 

　　　$x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

　　　证明：$a_{1}=1，a_{n}-a_{n-1}=2n-1$；

　　　　　　$a_{1}+...+a_{n}=2*1-1+...+(2*1-1+2*2-1+2*3-1+...+2*n-1)$;

　　　　　　$=(1*2-1)+(2*3-2)+...+[n*(n+1)-n]$;

　　　　　　$=(1*2)+(2*3)+(3*4)+... +n*(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}$;

　　　　　  $=\frac{(1*2*3-0*1*2+...+n(n+1)(n+2)-n(n-1)(n+1))}{3}-\frac{n(n+1)}{2}$;

　　　　　  $=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

 

　　　　然后就是非常巧妙而且感觉很（梦幻？）的三角形证明了：

　　

　　　想象一下三个三角形叠在一起！对应位置相加，每个位置都是$2n+1$，有$\frac{n(n+1)}{2}$个位置，最后因为是三个三角形相加再除3，答案就出来啦，这个方法真的是很巧妙啊。 

最后说一句：http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php这个编辑器还是很不错的...

 

　　2018.8.9更新：

　　今天听课讲到了这道题，其实立方和也有公式，一般地，对于x次方和，就会有一个x+1次的多项式可以用来直接求和，可以用拉格朗日插值法求出多项式系数。