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平方和公式

x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}

 

这个式子怎么计算?

1.for循环:复杂度 O(n)

2.公式:\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}

证明_摘自milky-way学姐的博客:

   关于二阶等差数列:

    a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2}

 

    证明:a_{2}-a_{1}=k,a_{3}-a_{2}=k+d,……,a_{n}-a_{n-1}=k+(n-2)d

       a_{n}-a_{1}=k+(n-2)d+k+(n-3)d + …… +k+d

       a_{n}=a_{1}+(n-1)k+\frac{(n-2)(n-1)d}{2};

 

   x=\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

 

   证明:a_{1}=1,a_{n}-a_{n-1}=2n-1

      a_{1}+...+a_{n}=2*1-1+...+(2*1-1+2*2-1+2*3-1+...+2*n-1);

      =(1*2-1)+(2*3-2)+...+[n*(n+1)-n];

      =(1*2)+(2*3)+(3*4)+... +n*(n+1)-\frac{n(n+1)}{2};

       =\frac{(1*2*3-0*1*2+...+n(n+1)(n+2)-n(n-1)(n+1))}{3}-\frac{n(n+1)}{2};

       =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6};

 

    然后就是非常巧妙而且感觉很(梦幻?)的三角形证明了:

  

   想象一下三个三角形叠在一起!对应位置相加,每个位置都是2n+1,有\frac{n(n+1)}{2}个位置,最后因为是三个三角形相加再除3,答案就出来啦,这个方法真的是很巧妙啊。 

最后说一句:http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php这个编辑器还是很不错的...

 

  2018.8.9更新:

  今天听课讲到了这道题,其实立方和也有公式,一般地,对于x次方和,就会有一个x+1次的多项式可以用来直接求和,可以用拉格朗日插值法求出多项式系数。

 

posted @   shzr  阅读(2309)  评论(0编辑  收藏  举报
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