《数学规划》学习笔记

上学期太错误了，啥课都是到期末才开始……学。虽然最后考的还可以，但期末周过得太累了，打算这学期好好做作业，同时边写边把学习笔记补了。

3 Convex Analysis

欧式空间

一些表示方式：

• 列向量：$x=(x_1;x_2;\dots;x_n)$
• 行向量：$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$
• $x>y$ 即 $x_j>y_j,\forall j$
• 内积：$x\cdot y=x^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_i$
• 欧几里得范数(Euclidean-norm): $||x||_2= \sqrt{x^Tx}$
• 无穷范数(infinity-norm): $||x||_{\infin}= \max\{|x_1|,|x_2|,\dots,|x_n|\}$
• p-norm: $||x||_p= (\sum_{j=1}^nx_j^p)^{1/p}$
• e表示单位向量（都为1）；I表示单位矩阵（对角线为1）；

另一些符号：

• 对角阵（Diagonal matrix）：$X=diag(x)$
• 对称阵（Symmetric matrix）: $Q = Q^T$
• 正定：$Q\succ 0\iff x^TQx>0, \forall x\neq 0$
• 半正定：$Q\succeq 0\iff x^TQx\geq 0, \forall x$

半平面：

• $H=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j=b\}$
• $H^+=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j\leq b\}$
• $H^-=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j\geq b\}$
  多面体：有限个闭半平面的交

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