《数学规划》学习笔记
上学期太错误了,啥课都是到期末才开始……学。虽然最后考的还可以,但期末周过得太累了,打算这学期好好做作业,同时边写边把学习笔记补了。
3 Convex Analysis
欧式空间
一些表示方式:
- 列向量:\(x=(x_1;x_2;\dots;x_n)\)
- 行向量:\(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\)
- \(x>y\) 即 \(x_j>y_j,\forall j\)
- 内积:\(x\cdot y=x^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_i\)
- 欧几里得范数(Euclidean-norm): \(||x||_2= \sqrt{x^Tx}\)
- 无穷范数(infinity-norm): \(||x||_{\infin}= \max\{|x_1|,|x_2|,\dots,|x_n|\}\)
- p-norm: \(||x||_p= (\sum_{j=1}^nx_j^p)^{1/p}\)
- e表示单位向量(都为1);I表示单位矩阵(对角线为1);
另一些符号:
- 对角阵(Diagonal matrix):\(X=diag(x)\)
- 对称阵(Symmetric matrix): \(Q = Q^T\)
- 正定:\(Q\succ 0\iff x^TQx>0, \forall x\neq 0\)
- 半正定:\(Q\succeq 0\iff x^TQx\geq 0, \forall x\)
半平面:
- \(H=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j=b\}\)
- \(H^+=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j\leq b\}\)
- \(H^-=\{x:ax=\sum_{j=1}^na_jx_j\geq b\}\)
多面体:有限个闭半平面的交
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