《形式语言与自动机》复习笔记
数分考完（11:30）到自动机开始考（次日9:00）只有不到22小时，而中间还要睡觉和吃饭，我哭死。
明天考完数分就开始极速复习自动机！先把博客发出来以免明天又鸽了，呜呜
Upd：发博客并不能防止我不鸽，现在是晚上八点半。考完数分后直接失去了全部复习动力！先是玩了好久风行迷踪，然后躺在床上睡不着，又看了好多三体动画的二创……下午发现外卖突然恢复了，狂喜，点了杯奶茶。不能说一点没复习，但也差不多吧……
捏捏说现在申请缓考很可能过不了，想想还是赶紧复习吧，ww
一些概念
复习的时候感觉很多概念都记不清楚，先在这里写下：
$\sum$：字母表，一些符号的非空有限集合。
字符串：字母表中字符构成的一个有限序列，空串用 $\epsilon$ 表示。
正规语言-正规表达式-有限自动机
上下文无关语言-上下文无关文法-下推自动机
图灵机-
上下文无关文法（CFG）：$G=(V,T,P,S)$
V：非终结符的集合；T：终结符（不能再进一步变换了）的集合；P：产生式的集合；S：开始符号；满足V,T的交集为空，开始符号属于非终结符。
上下文无关语言：上下文无关文法产生的语言。L(G)
确定有限状态自动机（DFA）：$A=(Q,\sum,\delta,q_0,F)$
Q：有限状态集；sum：有限输入符号集；delta：转移函数；q0：开始状态；F：一个终态集合
非确定有限状态自动机（NFA）：形式同DFA，但每个delta的因变量可以是一个集合（转移到这几个状态中的某个）。
DFA和NFA产生的都是正规语言。
下推自动机 PDA：$P=(Q,\sum,\Tau,\delta,q_0,Z_0,F)$
参数分别是，状态集合，输入符号集，栈符号集，转移函数，开始状态，开始堆栈符号，终态集合
Chapter2 上下文无关文法
从开始符号推到所需字符串叫推导；从所需字符串恢复到开始符号叫归约。
推导过程的每一步总是替换出现在最左边的非终结符，叫最左推导；最右推导同理。
证明思路：归纳推导的步数。
一个CFG是否为二义是不可判定的。消除二义性的一些可能方法：优先级，最近匹配
Chapter3 正规表达式
算符优先级：*>·(连接）>+
定义：L?=L+空串
代数定律：将正规表达式中的每个变量换成单个符号再证明。
Chapter4 有限状态自动机
DFA和NFA是等价的。
DFA转NFA：DFA本身就可以看成是一种NFA吧。
NFA转DFA：子集构造法。
带有空转移边的NFA和DFA也是等价的。
自动机最小化：填表法，看看哪些状态是不可区分的，捏成同一个。
Chapter5 有限状态自动机
表达式 转 带空转移的NFA：
DFA转表达式：路径迭代法；状态消去法；
Chapter6 正规语言的性质
Pumping定理：可用于证明某些语言不是正规语言。
判定性质：
是否为空：直接看（表达式）或从初态出发看是否可达终态（自动机）。
是否包含特定的w：放上自动机走一走（自动机）转成自动机然后参照上一条（表达式）。
判定两个语言是否相同：把两个自动机重命名到没有重名的状态。然后按照最小化的方式填表，如果最后填出来两个自动机初态不可区分，那就是相同的语言了。
正规语言的封闭运算：
并，补，交，差，反向，（星）闭包，连接，同态，反同态
证明封闭性：若L为正规语言，则存在正规表达式，有L(R)=L，然后由正规表达式得出答案；根据已有的自动机构造新自动机等。
不是正规语言也可以用封闭运算来证明。
Chapter7 下推自动机
转移函数这样写，意思是当前在q0状态，输入字符为0，栈顶为Z0时应该转移成什么样子。
用ID表示当前格局（q,w,y），表示（当前状态，剩余的输入串，栈的内容）
终态接受的定义方法：某些状态是接受态。
空栈接受的定义方法：栈为空时是接受态。
两种定义方法可以互相转换：（终态到空栈）加上终态时可以随意消除栈的转移边；（空栈到终态）先在栈里塞一个标志，等栈里只剩标志的时候就可以跳转到终态。
Chapter8 上下文无关文法-下推自动机
上下文无关文法->自动机：甚至可以只有一个状态，相当于模拟最左推导（？
自动机->上下文无关文法：我的评价是十分奇怪……
先休息一下等会写这块
Chapter9 确定下推自动机
每个delta只转移到一个状态，且如果一个状态能用实际的字符转移，就不能同时存在空转移（那就不知道该怎么转移啦！）
这样的下推自动机叫确定下推自动机（DPDA）。
正规语言都可以用确定下推自动机表示。因为可以用DFA表示，所以根本不需要栈……
DPDA的计算能力比有限自动机强。（毕竟多了一些功能）
前缀性质：（语言L的性质）不存在x是y的前缀，而且xy都属于L的情况。则称L具有前缀性质。
一个语言L满足前缀性质 当且仅当 L是某个空栈接受的DPDA的语言。
某些上下文无关语言不是任何DPDA的语言。如果一个上下文无关语言能被表示成某个DPDA的语言，则称他为一个确定的上下文无关语言。
一个语言L是某个空栈接受的DPDA的语言 则 L存在一个无二义文法。（其实只要L是某个DPDA的语言，就都成立）
如果L固有二义，则不是任何DPDA的语言。但如果不是固有二义，也可能不是任何DPDA的语言。
Chapter10 CFG的简化以及Chomsky范式
简化：1）消去无用符号；2）消去空产生式；3）消去Unit产生式；
有用符号：开始符号推到某个结束状态的过程中用到的符号；无用符号：用不到的符号；
生成符号：称X是生成符号，当且仅当X可以推导到一个w；（从终结符号倒推）
可达符号：X是可达符号，满足S可以推到aXb；（从S正着推）
消去所有的非生成符号和所有的非可达符号，剩下的就都是有用符号了，而且等价。
1）步骤：计算生成符号，计算可达符号，消去非生成和非可达。
晕了，等会写
Chapter11 上下文无关语言的性质
证明不是上下文无关：
判定上下文无关文法是否为空：计算生成符号，然后判断开始符号是不是生成符号。
是否包含指定字符串：变为Chomsky范式，然后用CYK算法。
关于上下文无关几个不可判定的问题：给定的文法是否无二义？是否固有二义？两个语言是否相交？两个语言是否相等？语言是否等于全集？
封闭运算：替换，并，反向，闭包，连接，同态，反同态，与正规语言的交。
此处的替换真的超级自由，甚至可以这样：
注意，对于上下文无关语言（CFL），交，补，差就不一定还是CFL了！
Chapter12 图灵机
可以被图灵机接受的语言：递归可枚举语言
停机：不存在下一个移动
递归语言：对于属于L(M)的语言，M可以接受；对于不属于L(M)的语言，M也可以停机；（递归语言对应的问题都是可判定的）
还有好多花里花哨的图灵机变种，但似乎……差别都不大。
Chapter13 计算理论
对角语言不是递归可枚举语言。
如果L是递归语言，那么L的补也是递归语言。但递归可枚举语言的补不一定还是递归可枚举了。
通用语言：L_u，具体是啥我不知道，也不想知道了。他是递归可枚举的，但不是递归的。而他的补连递归可枚举都不是了。
语言对应的问题：任给一个串w，w属于L是否成立？
递归语言对应的问题是可判定的，否则不可判定。如果是递归可枚举，则是“部分可判定的”
图灵机停机是不可判定的！
Rice定理：关于递归可枚举语言的任何非平凡性质都是不可判定的。
Post对应问题：两组二进制串，如何拼拼能正好序号一样长得也一样。（这个是不可判定的）
一个给定的CFG是否歧义也无法判定的。
图灵机+复杂度多项式=P问题；非确定图灵机+复杂度多项式=NP问题
NP-完全：p是NP，且任意NP可以多项式规约到p，则p是NP完全。
NP-难：不知道p是不是NP，但任意NP可以多项式规约到p，则p是NP难。
可满足性问题（SAT）是NP-完全。
终于整理完了（？可我还是啥也不会，令人感叹
一些三体二创
真的很好，所以放在这里分享给大家。
大法师罗辑：https://www.bilibili.com/video/BV17e4y1L7kJ
三体x原神：https://www.bilibili.com/video/BV1kv4y1X7w6
后记
考试前真的完全麻了，因为12.31晚上计系概，1.2早大物，1.3早数分，1.4早自动机。想到数分肯定要复习很久，我就把大物缓考了。结果考完数分后一点不想复习，从晚上七点多才开始认真复习，结果发现第12、13章我就跟没见过一样……
总之，精神状态参照上述两行聊天记录，凌晨快两点的时候，我还拿着手机躺在床上看ppt（
第二天早上开始考试，一发卷子更麻了，发现题巨多，而且刚开始就有两个选择不确定。梦游般做完了考试，交上卷子后意识到至少有15分的构造题约等于没写（或者说写了，但我100%确定是错的），但因为这是期末的最后一门考试，考完就开始快乐了~
自动机出成绩很晚，春季学期都开学快两周了才出卷面成绩，我一点进去发现得了80，感到非常震惊，看来只要写了的基本都对了？四处打听了一下发现这个分数还可以，而且我期中其实相当高，所以就放心了。晚上逛树洞，发现有人说自动机不调分，算了一下发现不到90（期末占比70%，纯毒瘤），再次麻了。
好在最后竟然是A-，赢！（而自认为复习得很好+考得很好的计系概反而是B+，输）
