《离散数学2》复习笔记
应asuldb要求，把这篇写一下。还是博客笔记写起来比较快乐！
一 基本概念
1 图的基本概念
V表示图的顶点集合，E表示图的边集合。本书只讨论有限图，即VE均为有限集的情况。|V|=n,|E|=m.
边分为有向边和无向边，有向边也叫弧。$e_k=(v_i,v_j)$，称 $v_i,v_j$ 为相邻结点。
全是有向边的称为有向图，全为无向边的称为无向图，否则称为混合图。含有重边的图也称为多重图。
结点v相连的边数称为该结点的度，记为 $d(v)$ ，注意自环对度数的贡献是2。
对于无向图，如果任意两结点间最多只有一条边，且不存在自环，称为简单图。
没有边的简单图称为空图，记为 $N_n$；任意两结点间都有边的简单图称为完全图，记为 $K_n$，其中每个点的度数均为 $n-1$ 。
一些性质：
- $\sum d(v_i)=2m$
- 度数为奇数的结点必为偶数个
- 有向图中，正度之和=负度之和
- 非空简单图中一定存在度数相同的结点
如果每条边带有一个权值，则称G为赋权图，如果权值全为正数，则为正权图。
$V'\subseteq V,E'\subseteq E$ ,则G'=(V',E')为G=(V,E)的一个子图。如果V'=V，则G'称为G的支撑子图或导出子图。
如果 $V' \subseteq V$ 且E'包含了G在结点子集V'之间的所有边，则称G'为G的导出子图。
两个图的并：点集取并，边集取并；
两个图的交：点集取交，边集取交；
两个图的对称差：点集取并，边集取对称差（即保留那些恰好在一张图中出现的边）
在G中删去一个子图H，指删去H中的各条边，记做G-H。特别地，对于简单图G，称 $K_n-G$ 为G的补图，记做$\overline G$.
G-v：指从G中删去结点v以及和结点v相连的边。
无向图的邻点集$\Gamma(x)$：所有与x直接相连的点的集合。
有向图的直接后继集/外邻集：$\Gamma^+(x)=\{u|(x,u)\in E\}$
有向图的直接前趋集/内邻集：$\Gamma^-(x)=\{u|(u,x)\in E\}$
图的同构：两个图通过重标号结点后完全相同，则这两个图同构。记做 $G_1 \cong G_2$
同构图的性质：
- 点数边数相同
- 结点度的非增序列相同（把所有结点的度写出来，排序后相同）
- 存在同构的导出子图（可以用来反证，若存在某个G1中的子图，无法在G2中找到同构的子图，则两图不同构）
2 图的代数表示
邻接矩阵：一个矩阵，a(i,j)=[ij间有边]；无向图的邻接矩阵是对称的。
权矩阵：w(i,j)=ij间的边权；
关联矩阵：有点怪，但这本教材特别喜欢用。用一个n行m列的矩阵来表示图。设 $e_i=(u_i,v_i)$，那么在i列的 $u_i,v_i$ 位置分别写上1，-1。因此每列只有两个非零元，每行的非零元个数等于这个点的度数。对于无向图，可以在两个端点的位置均写上1;
边列表：将每条边的两个端点和权值列出来;
正向表：记录每个结点的直接后继。书中的方法类似把若干数组连缀起来，如：1的后继有24,2的后继有13,3的后继有4，4的后继有2.那就先开一个数组记录每个点有几个后继，相当于索引：2,2,1,1；然后用一个大数组记录所有后继：241342.
逆向表：和正向表类似，但要改成记录前驱;
邻接表：对每个结点，开一个链表存它的后继。
二 道路与回路
1 道路与回路
按照第一章的方法整理就整理不完了！所以之后会摸一点。
如果一条道路的起点=终点，则称为圈（回路）。
没有重复边的道路和回路称为简单道路、回路。没有重复点的称为初级道路、回路。
弦：若C是简单图G中结点大于3的一个初级回路，x,y在C中不相邻，而(x,y)是G中的一条边，则称(x,y)是C的一条弦。
弦的存在性：若G中每个结点的度数均>=3，则G中必含带弦的回路。
连通图：任意两点间均存在道路。
连通支：极大连通子图。
2 道路与回路的判定
设A是G的邻接矩阵，则$A^k_{i,j}$表示了i能否通过k条边到达j。显然，如果两个结点连通，则它们间必然存在<=n个点的道路。
Warshall算法：三重循环，最外层循环中转点k，之后g[i][j]|=(g[i][k]&g[k][j]);可以求出图中任意两点的连通性。
也可以使用BFS、DFS来求两点间有无通路，复杂度O(m).
3 欧拉道路与回路
经过所有边恰好一次的简单回路（道路）称为G的欧拉回路（道路）。
存在欧拉回路 $\iff$ 图连通，且每个点的度数均为偶数。
求欧拉回路的方法：dfs，每找到一个回路后，在G中删去这些边，再找，并把新找到的回路（通过公共结点）连到原回路中去。
存在欧拉道路 $\iff$ 图连通，且至多有两个度数为奇的点
有向图：若有向图连通，且每个点入度=出度，则存在有向欧拉回路。
4 哈密顿道路和回路
无向图的一条经过所有结点恰好一次的初级回路（道路）称为哈密顿回路（道路），简称H回路（道路）。
性质：完全图中存在H回路。
定理1：若简单图G的任意两结点间均有d(x)+d(y)>=n-1，则存在哈密顿道路。证明：首先G是连通图，取一条极长道路（无法再扩充），若长度<n，则一定存在包含这条道路的回路，换个地方断开就可以再扩充了。
定理2：若简单图G的任意两结点间均有d(x)+d(y)>=n，则存在哈密顿回路。
闭合图引理：若x,y在G中不相邻，且d(x)+d(y)>=n，设G'=G+(x,y)，则G存在H回路当且仅当G'存在H回路。
闭合图：在G中找出不相邻的xy，且d(x)+d(y)>=n，则加入新边(x,y).（此时应更新图的度数）不断增加新边，直到不存在这样的点对。得到的新图称为G的闭合图，记做C(G)。
简单图的闭合图是唯一的，不因加边顺序而发生改变。
5 旅行商问题
求最优的H回路。
分支与界法：其实就是剪枝dfs啦。首先将所有的边权排序，选取前n条边试一试能否构成H回路，然后dfs就可以了。与界是指：看一下当前的dfs序列，如果第x大选取第i大的边，x+1~n顺序选取i+1,i+2……的边，得到的答案已经比之前搜到的答案劣，则直接退出这个分支；如果一条边加入后，使某个点的度数>2，那这次就不应该选这条边。注意：第一次得到的答案不一定是最优的！（其实就是最普通的剪枝，但是做作业的时候迷糊了）如何判断合法：所有点的度数都为2且连通即可构成H回路。
便宜算法：就是贪心。逐步加入离“当前结果集合”最近的点即可。如当前的结果序列已经有了1、2两个点，发现5离2的距离是当前所剩边权中最小的，就把5插入结果序列。关于5插到2的左边还是右边？接着贪心即可。这是一个近似算法，不过效果还不错。（如果边权满足三角不等式，那便宜出来的解不会大于正解的两倍！）
6 最短路径
正权图，s到各点的最短路径：Dijkstra算法；
边权均为1时，s到各点的最短路径：bfs；
边权任意时：Ford算法（也可以SPFA）；区别是：Dijkstra一旦算出某个点的最短路就不会更改，而ford算法可能需要多次更新某个点的最短路。
7 关键路径
PT图：用结点表示工序，边表示依赖关系，权值写在点上。（DAG）
关键路径：在最长路上的工序是不能延误的，而其他工序或许晚一点做也问题不大。
设t(x)表示x这个工序最早可以什么时候开始（即从起点到x的最长路），u(x)表示x这个工序最晚需要什么时候做完（即从x到终点的最长路），那么x可以延误的时间就是u(x)-t(x)-cost(x).即最晚减最早，再减去这个工序本身花费的时间。
PERT图：抽象！大家都不太完全理解的奇怪东西。用边来表示工序，点来表示依赖关系（如果y工序需要在x工序做完后再做，就让x指向一个点t，y从t指出）这个主要适合于这样多对多的情况“3,5,7工序均依赖于1，2,4”，可以少画几条边。但如果有的工序依赖1，有的工序依赖1、2，这种情况就比较emm。对此，助教的评价是：如果你发现一个图没法画，那他就没法画。
8 中国邮路
中国邮路：有点类似欧拉回路，是指从某结点出发，经过每条边至少一次，最后回到终点的最短回路。
以下考虑无向连通图的中国邮路，有两个性质：
（1）每条边最多重复一次；（2）对于每个回路，重复边的长度之和不超过整个回路长度的一半；
构造方法：首先找出度数为奇数的结点，按照条件（1）随便加点边，得到一个欧拉回路；之后检查每个回路，根据条件（2）调整一下。这是一个很有离散2风格的解法，不怎么追求复杂度，反正考试的时候都是手动跑小数据……还有一个使用最小权匹配的做法，但需要用到一般图匹配，书里也没细讲，主要思路是加边的时候尽量加小的，这样就不太需要调整了。
有向图的中国邮路比较复杂，需要考虑入度出度不一致的点，为其增加虚拟节点，还要用费用流。
三 树
1 树的有关定义
不含回路的连通图称为树。
如果T是G的支撑子图，且是一棵树，则称为G的支撑树、生成树，简称G的树。
2 基本关联矩阵及其性质
基本关联矩阵：关联矩阵删去任意一个节点对应的行得到的矩阵。
连通图的基本关联矩阵rank(B)=n-1（因为前n-1个点的连边情况已知时，可以推出最后一个点的）
若H是G的子图，H中含有回路，则H的边对应的G的基本关联矩阵的各列线性相关。
如果基本关联矩阵B中某个n-1阶子阵的行列式非零，说明这n-1列构成G的一棵生成树。
3 支撑树的计数
书里关于这一节主要是各种推导（本质就是上一节的那个性质）
考虑无向图，生成树的数量=det(AA')，A为基本关联矩阵。
但AA'可以很简单地求出：设AA'=C。若i=j,则$c_{i,j}=d(v_i)$，否则$c_{i,j}=-e(i,j)$，即-1*ij间连边的数量.
如果需要一定含有某条边，可以重新画一个图，把这条边相连的两个点捏成一个点。
考虑有向图，以 $v_k$ 为根的外向生成树（根指出去）数量是det(BB'),B是将B中所有的1改成0.
但也有简单的求法：若i=j,则$c_{i,j}$=i的入度，否则$c_{i,j}=-e(j->i)$，即-1*(j指向i)的边的数量.此时的C不一定是对称矩阵。
（不过即使上面的全写成i->j的边的数量也没关系，毕竟det(A)=det(A')）
如果要求一定含e=(i,j)，则不能有其他边指向j，所以删去所有指向j的边再做就好了。
4 回路矩阵与割集矩阵
一个图可能有很多回路，但某些回路可以互相生成。
求一生成树，定义基本回路为由一条余树边和若干树边组成的回路。这些基本回路是无法互相生成的。因此，回路矩阵的秩是m-(n-1)。
下面介绍求回路矩阵的方法：
然后是割集矩阵，即删去这些边后连通支+1，且这个集合极小（如果少割一条就没效果了）。
基本割集：删去一条树边，然后删去连通了上下两部分的余树边。割集矩阵的秩为n-1。
5 支撑树的生成
完全没讲，我合理推断不考！
6 Huffman树
每个点有权值，每次选出两个权值最小的点捏成新点，再对新的集合这样做，直到生成一棵树。
这样生成的树可以最小化“每个点权值*根路径长度”的和。
用于压缩算法等。
7 最短树
其实就是最小生成树。
两个方法：Prim，Kruskal。
kurskal就挺简单的，不停地加入最小的边，如果形成回路就跳过。
Prim有点类似最短路，就是不断加入离当前集合最近的点。
8 最大分枝
没讲，合理推断不考。
四 平面图与图的着色
1 平面图
2 极大平面图
3 非平面图
4 图的平面性检测
5 对偶图
6 色数与色数多项式
五 匹配与网络流
六 图的连通性
割点：如果一个图删去v这个点以及与v相连的边后连通分量变多了，那么v就是一个割点；
割边：删去这条边后连通分量变多了，那这条边就是一条割边。
块：极大的没有割点的连通子图称为块；
割点的性质：
v是G的一个割点
$\iff$ 存在与v不同的两点u,w，使任一条u到w的道路都经过v
$\iff$ $V-v$ 可以分为两个节点集 $U,W$，$\forall u \in U,w\in W$，使任一条u到w的道路都经过v
七 代数结构预备知识
就，挺类似离散一的……可能只需要看一下同构。
八 群
1 半群
设S是非空集合，·是S上的一个二元运算，如果·满足结合律，则称代数系统（S,·）为一个半群。注意，如果二元运算·满足结合律，那么也同样适合广义结合律，即可以以任意方式加括号后计算。
若半群中有单位元e存在，则称为一个含幺半群，或幺群，可记为（S,·，e）。e称为幺元，满足a·e=e·a=a。
若幺群满足交换律，则称为交换幺群。
设（M，·，e）为一个幺群，若存在一个元素 $g\in M$，M中的任意元素都可以表示为g的若干次方，则称（M,·,e）为一个循环幺群，g是M的一个生成元（生成元可能有很多个）。
循环幺群都是可交换幺群，把元素表示为幂次可得。
设（S，·）是一个半群，$T \subseteq S$，且T在·运算下封闭，则称（T，·）为（S，·）的子半群。
设（M，·，e）是一个幺群，$T \subseteq M$，且T在·运算下封闭，且 $e\in T$，则称（T，·，e）为（M，·，e）的子幺群。
设（A，·），（B，*）为两个半群（幺群），f是A到B的一个映射，若任取$a,b\in A$，有f(a·b)=f(a)*f(b),则称f是A到B的同态映射，简称同态。若f分别为单射、满射、双射，则称f为单同态，满同态、同构。
设f是(A,·)到(B，*)的满同态，S是A的非空子集，则
- 若（S，·）是半群，则（f(S)，*）是半群
- 若（S，·）是幺群，则（f(S)，*）是幺群
