LCT学习笔记

　　这里是学了两遍LCT，又忘了两遍的shzr。

　　今天让我们再来学一遍LCT；这次我写了笔记，以后忘了就看看笔记，不用花那么多时间了。

　　首先来稍微复习一下LCT的一些基本知识：

　　·LCT用来维护森林；

　　·一棵LCT由多棵Splay组成，每棵Splay里的点是树上的一段路径。具体来说，是树上一段"祖先-子孙"路径。同时，每个树上的点会且只会出现在一个Splay中；

　　·中序遍历每个Splay，得到的点的深度序列是递增的；

　　·森林中的边被分为两类：虚边和实边；这两类边在LCT中不一定真的出现，但是都会有体现：对于按照Splay中序遍历得到的点序列，相邻两点间的边就是实边；每个Splay还有一个总的"祖先"，从这个Splay中深度最小的点到这个"祖先"之间存在一条虚边；不要错误的以为成Splay的根到那个"祖先"的边，因为Splay的根是随意的；

　　接着来学习各种基本操作：

$\rm Access(x)$

　　值得注意的是，虚实边的划分并没有什么原理，其实是可以随便划分的；

　　$assess(x)$ 这个操作就是指：将森林中 $x$ 到树根的这条链全部变实，同时 $x$ 变为这条实链中深度最大的点（不再有实儿子）；

　　其实方法是很简单的...首先将 $x$ 旋转到所在Splay的根，然后断掉 $x$ 的右儿子，连上上一次循环时的 $x$（因为 $x$ 应该是深度最大的），不停地重复这三步，直到 $x$ 和根到达同一个Splay​里，就完成了，是不是很简单呀~

　　不过Splay一般是要维护一些信息的，所以在断右儿子，改右儿子的时候都不要忘了 $\rm pushup$ 呀；

　　什么？你说 $\rm pushdown$ 怎么处理？事实上不用管，因为在改儿子的时候显然不会还有标记；

　　 

 

$\rm Makeroot(x)$

　　就是把 $x$ 换到根上啦~

　　其实这利用了一个性质：将 $x$ 变成新根前后，父亲/儿子出现变化的点只会是 $x$ 到原根路径上的那些点；所以，我们首先 $\rm Access(x)$ ，然后 $\rm Splay(x)$，这样以后 $x$ 就会没有右儿子，在这里打一个翻转标记，翻转这条链就好啦~

　　

  

$\rm Findroot(x)$

就是找到 $x$ 所在的根啦。首先 $\rm Makeroot(x)$，然后一路往左走就找到了~

　　

 

$\rm Split(x,y)$

　　这个操作的意思是把 $x,y$ 弄到一条链上。方法很简单，$\rm Makeroot(x)+Access(y)+Splay(y)$ 就OK了；

 

$\rm Link(x,y)$

　　就是连边啦~ $\rm Makeroot(x)+(f[x]=y)$ 就好啦；

 

$\rm Cut(x,y)$

　　就是断边啦~ $\rm split(x,y)+(f[x]=0,ch[y][0]=0)$ 就好啦；

　　如果断边不一定合法怎么办呢？开个Map记录有哪些边是存在的。好像很有道理的样子...还有另一种方法，这里也介绍一下吧；

　　首先判断两个点是否联通（显然）；方法是 $\rm Makeroot(x)+findroot(y)$ ；不要忘了 $\rm findroot$ 里是含有 $\rm access$ 的呀~

　　如果联通，那么现在我们就得到了一个以 $y$ 为根的Splay，此时，必须满足 $\rm f[x]=y,ch[y][0]=x$ 才有可能存在这条边。为什么说可能呢？因为如果 $\rm ch[x][1]!=0$，那么就说明 $\rm x,y$ 间还有其他的点了。（注意Splay里的边并不能代替原树里的边啊！）

 

$\rm Tips$:​

　　还有一个需要注意的小细节：Splay时必须从上往下放标记，也就是在Splay以前，先访问整条根路径，放完标记再旋转；什么，你说为什么普通Splay不用这样？其实吧......普通Splay也是需要这样的，不过一般我们可能会先来一个找第K大之类的操作，等到splay时根本就没有标记可放了，所以怎么写都对...

　　最后说句闲话，我的IDE是不是挺好看的(逃

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