【模板】生成函数 I

多项式与形式幂级数

1. 多项式：$A(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$。
2. 形式幂级数：$A(x)=\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i$。形式幂级数不用考虑其收敛域。

形式幂级数（多项式）的运算

设 $A(x)=\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i,B(x)=\sum _{i\ge 0}{b}_i{x}^i$。

1. $A(x)+B(x)=\sum _{i\ge 0}(a_i+b_i)x^i$
2. $A(x)-B(x)=\sum _{i\ge 0}(a_i-b_i)x^i$
3. $A(x)\cdot B(x)=\sum _{k\ge 0}\sum _{i+j=k}(a_i\cdot b_j)x^i$
4. 记形式幂级数（多形式）$A(x)$的 $x^n$ 的系数为 $[x^n]A(x)$。

常生成函数

定义：一个数列 $\{a_n\}$ 对应的常生成函数为 $A(x)=\sum _{i\ge 0}{a}_i{x}^i$。

形式幂级数的逆元

1. 形式幂级数 $A(x)$ 的逆元：$A(x)B(x)=1$。
2. 逆元存在的条件：$[x^0]A(x)\ne 0$。
3. 逆元可用于简化运算。
   
4. $1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$。
5. $1+x^a+x^{2a}+\cdots +x^{na}=\frac{1-x^{an+a}}{1-x^a},a\in N_{+}$。

生成函数与递推数列的关系

指数生成函数

定义：一个数列 $\{a_n\}$ 对应的指数生成函数为 $A(x)=\sum _{n\ge 0}{a}_n\frac{x^n}{n!}$。

1. ${exp(x)}^a=exp(ax)$。
2. $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$。
3. $\frac{exp(x)+exp(-x)}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots$
4. $\frac{exp(x)-exp(-x)}{2}=\frac{x}{1!}+\cdots +\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\dots$