Burnside & Polya

群论相关

群

群的定义：\(\Large G\) 为一个非空集合，对 \(\Large G\) 的元素定义二元乘法，要求满足

1. 封闭性
2. 结合律
3. 幺元
4. 逆元

则称 $\Large G $ 为一个群。

如果群 \(\Large G\) 满足交换律，则称 \(\Large G\) 为阿贝尔群。

置换群

置换

\(\Large n\) 元集合 \(\Large \Omega\) 到自身的一个双射，在这里 \(\Large \Omega=\{1,2,3...n\}\)，记做 \(\Large x\rightarrow f(x)\) 。

置换群

置换组成的群，定义合成映射 \(\Large (f\circ g)(x)=f(g(x)) (x\in \Omega)\)。

\(\Large (G,\circ )\) 构成一个群，称为置换群，所有 \(\Large n!\) 种置换构成的群为对称群。

置换群不一定是阿贝尔群。

Burnside 引理

群的等价类：在置换群 \(\Large G\) 作用下元素 \(\Large k\) 的运动轨迹（一些点的集合）

不动点：置换中 \(\Large x\rightarrow x\) 的 \(\Large x\) 的个数。

\[\Large |X/G|=|G|^{-1}\cdot \sum_{g\in G}|x^g| \]

等价类的个数 = 每个置换中不动点的个数的平均值。

脑筋急转弯！

\(\Large 2 \times 2\) 的方格图，可以给每个方格染黑色或红色，问有多少种本质不同的染色方式（如果一种染色方式可以通过旋转变成另一种，则称它们是相同的）

请问，构造的群 \(\Large (G,\circ )\) 是几元的？

之前，我一直都认为是 4 元的，见笑了，直到今天，我才知道应该是 \(\Large 16\) 元的。

这个过程是这样的，先不考虑旋转同构，有 \(\Large 2^4=16\) 种，每一种对应一个元素，旋转看成把一个元素变成另外一个元素，这样的置换，可以证明这是一个双射。而不是把旋转看成某个格子位置的变换，这样算出来的等价类在 Burnside 引理中是没有意义的

第二问，构造的群 \(\Large (G,\circ )\) 是什么样子的。

1. 不动
2. 旋转 \(\Large \frac{1}{2}\pi\)
3. 旋转 \(\Large \pi\)
4. 旋转 \(\Large \frac{3}{2}\pi\)

为什么“不动”一定需要呢？幺元！

为什么 \(\Large 2,3,4\) 不能只保留一个 \(\Large 2\) 呢（\(\Large 3,4\) 都可以通过 \(\Large 2\) 自乘得到）？封闭性！

可以证明这样的群是满足 \(\Large 4\) 个条件的。

感性理解

对于一个等价类

\[\Large 等价类里点的个数\times 使他不发生改变的置换个数=总置换数 \]

极其难以理解的结论。

我也不知道怎么证。

常见结构的置换群：

正三角形：

1. 不动
2. 对应中心\(\Large ±120°\)
3. 沿高翻转

正四面体：

1. 不动
2. 顶点到对面的高 \(\Large ±120°\)
3. 棱中对棱中旋转 \(\Large 180°\)

正方体：

1. 不动
2. 沿上下面心轴旋转 \(\Large ±90°\)
3. 沿上下面心轴旋转 \(\Large 180°\)
4. 棱中对棱中，旋转 \(\Large 180°\)
5. 体对角线，旋转 \(\Large ±120°\)

四元环

1. 不动
2. 中心旋转 \(\Large ±90°\)
3. 中心旋转 \(\Large 180°\)
4. 沿对点翻转
5. 沿对边中点翻转

Polya 定理

当颜色很多时，不考虑同构的染色局面会很多，这时候，用 \(\Large \mbox{Burnside}\) 定理构造的群的元数会特别多（指数级别）

从物体结构旋转的变化方面考虑（如果你不理解这句话，翻上去，就是我删掉的错误的话，虽然这么考虑在 Burnside 里是错的，但在 Polya 定理上就对了），他们同样构成了一个置换群。

把置换写成不相交的循环，对于某个置换下的不动点，每个不相交的循环只能填上一种颜色，公式不理解，就不写了。

\[\Large 某置换下的不动点数=位置变化的置换下不相交的循环个数^{颜色数} \]

然后在把这个带到 Burnside 定理里，就成了 Polya 定理。

例题

咕咕咕。