【JLOI2015】骗我呢

题意简述：

求原点到点$P(n+m+1,n)$，并且不能经过（或跨越）直线$A:y=x+1$和$B:y=x-(m+2)$的路径条数。

题解：

这道题应该可以算是格路计算问题的巅峰了吧。

首先，我们把$P$点沿$A$进行翻折，记为$P'$，从原点到$P'$的路径条数就是“从原点到$P$，一定经过（或跨越）直线$A$的路径条数”

注意我们不知道是什么时候经过的，也不知道前后还有没有别的经过事件，因为我们只考虑了直线$A$。

我们把$P'$沿$B$翻折，记为$P''$，考虑从原点到$P''$的路径条数是什么意思：

由上面一个问题，我们很自然的猜想，“是不是从原点到$P$，一定经过（或跨越）直线$A$和$B$的路径条数呢？”

但是我们很快可以发现这个猜想是错误的，因为如果是这样的话，由对称性可知，先沿$A$折，再沿$B$折，和先沿$B$折，再沿$A$折，算出来的东西是一样的。

进一步的，即$A$和$B$关于直线$y=x$对称，

但其实，并没有保证这个条件。

那我们继续很自然的猜想，“是不是从原点到$P$，先经过$B$再经过$A$的路径条数呢”（注意这里我可能没有讲清楚，是保证有两次经过，并且有先$A$再$B$），

发现就是这样，因为我们可以把第一次经过$B$的部分沿$B$翻折，从第一个交点处到$P'$，一定要跨越$A$，所以是先$B$后$A$。

我们发现还是可以反复经过$B$，再经过$A$的。那么我们就把多次连续的经过一条直线记做一个事件，即把经过直线状态的改变看做一个事件。

那所有的不合法方案就是形如$A$，$B$，$AB$，$BA$，$ABA...$，共同点是$AB$交替出现，不知道先$A$还是先$B$，也不知道什么时候结束。

我们可以看成有一个文本检索器，每次可以搜一个子序列，查找文本中出现了此子序列的子段个数（更严谨的，查找文本中出现了此子序列的子段加权的个数和），怎么容斥的把所有不合法方案算出来。

先减去$A$开头的，再减去$B$开头的就可以了。

如何算$A$开头的？我们先沿$A$翻折，查$A$，算出来是多的，因为还有$B$开头且含$A$的，再把这一部分减去，即沿$B$翻折，查$BA$，减去$BA$的，但是会有多减的，因为还有$ABA$开头的，就再加上，发现加多了，因为还有开头$BABA$的......下一次的永远比上一次少，也就是它肯定会少到$0$，就在那里停止就可以了。

算$B$开头的同理。

 

## update：2020 - 5 - 12 

听神仙 `aysn` 讲了这个问题，想到自己之前做过，用现在的方法重新推一遍。

重新写一下这个问题，即从 $(0,0) \rightarrow (n,n)$，不能跨越（但是可以经过）直线 $y=x$ 和 $y=x-m$，求方案数。

对于 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的一条路径 $P$，定义一个字符串 $S$，设它在行进过程中，如果经过了直线 $l_1$，就在 $S$ 后面加一个 $1$，如果它经过了 $l_2$，就在 $S$ 后面加一个 $2$，这样形成的字符串 $S$，我们规定它为 $w(P)$，但是我们发现这样没法做，所以把这个字符串连续的一段 $1$ 和 $2$ 缩成一个 $1/2$。设 $P'$ 为 $P$ 的一个子串。

$$\begin{align*}ans&=\sum_P [w(P)=""]\\&=\sum_P \sum_{P' \subs P} (-1)^{|P|}=\sum_{P'}(-1)^{|P'|}\sum_{P}|P'\subset P| \end{align*}$$

对于 $P'\ subset P$ 的所有路径 $P$，我们只需要按照 $P'$ 翻着 $(n,n)$，得到的点 $(x,y)(x+y=n+n)$，即为符合条件的 $P$ 的个数。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define N 3000300
#define LL long long 
#define ri register int
void add(int &x,int y) {
    x+=y;
    if (x>=mod) x-=mod;
}
int mul(int a,int b) {
    LL c=a*1LL*b;
    return c%mod;
}
int n,m,inv[N],jc[N],jv[N],maxn,ans;
int c(int x,int y) {
    if (x<0 || y<0) return 0;
    return mul(mul(jc[x+y],jv[x]),jv[y]);
}
void flip1(int &x,int &y) {
    swap(x,y);
    x-=1; y+=1;
}
void flip2(int &x,int &y) {
    swap(x,y);
    x+=m+2; y-=m+2;
}
int main() {
    cin>>n>>m;
    inv[0]=inv[1]=jc[0]=jv[0]=1;
    maxn=max(n,m)*3+1;
    for (ri i=2;i<=maxn;i++) inv[i]=mul(inv[mod%i],(mod-mod/i));
    for (ri i=1;i<=maxn;i++) jc[i]=mul(jc[i-1],i);
    for (ri i=1;i<=maxn;i++) jv[i]=mul(jv[i-1],inv[i]);
    int x=n+m+1,y=n; ans=c(x,y);
    while (x>=0 && y>=0) {
      flip1(x,y);
      add(ans,mod-c(x,y));
      flip2(x,y);
      add(ans,c(x,y));
  }
  x=n+m+1,y=n;
  while (x>=0 && y>=0) {
      flip2(x,y);
      add(ans,mod-c(x,y));
      flip1(x,y);
      add(ans,c(x,y));
  }
  cout<<ans<<endl;
  return 0;
}