2019-9-12做题记录

1、Peaks加强版（Kruskal重构树，主席树）

$Kruskal$重构树的模板题。

$Kruskal$重构树：在合并两个联通块的时候，建一个新点，当原来两个代表元的父亲，作为新联通块的代表元。

查询的时候在叶子上跳到能到达的最远祖先，在叶子的$dfs$序里面查$k$大就行了。

2、【LOJ#6073】距离（主席树）

树链剖分$+$可持久化的套路。

3、【BZOJ4771】七彩树（主席树）

好听的名字和好学的题目。

按照虚树的思想，我们把同一颜色的点拎出来，按$dfs$序排序，然后在每个点$+1$，在相邻点$LCA$处$-1$，这样任意时候我们只要查子树和，就知道了子树里的颜色数。

如果不离线，我们直接按深度优先搜索序插入线段树，维护子树和。把线段树变成主席树，就可以在线了。

4、【BZOJ5304】[HAOI2018]字串覆盖（后缀数组，主席树，倍增）

又是蛤省省选神仙题。

很显然贪心是从左到右能选就选。

对$sa$数组建主席树，值域是它原来的位置。

询问的时候先$rmq+$二分确定区间，找到第一个合法的，再在主席树上反复找后继，这样是$O(n/|P|*logn)$的，当$|P|$很小的时候是不行的。

当$P\le 50$，我们可以预处理答案。直接对每一个$|P|$构建一棵树，每一个位置向它的前驱（一个位置$x$，使得向后$|P|$位后形成的字符串和当前位置向后|P|位形成的字符串相等且不交）连父边，我们在主席树上找到第一个合法的位置，然后找一条向下的长链，预处理即可。

5、【BZOJ4408】[FJOI2016]神秘数（主席树维护贪心）

如果只有一次询问，我们该怎么做？

我们先排个序，如果没有$1$，$1$就是神秘数，如果有$1$，我们应该怀疑$2$是不是神秘数，如果下一个不是$2$，那就不是了。

但是可以发现，这样是假的，因为还可以再来一个$1$，然后两个$1$拼成一个$2$。

这样的话，我们每次只要把小于等于$1$的找到，然后看看下一个是不是$sum+1$，如果不是，就不是了，如果是的话，说明$[1..2sum+1]$都是可以的，直接把$sum$变成$2sum+1$。这个过程是一个$log$的

多次询问的话，用主席树找前驱代替排序，再加一个$log$，总共就是两个$log$的。

这类数据结构维护贪心的问题第一要从最简单的贪心入手，第二再从数据结构入手。就比如说，这道题我一开始想到了用主席树来维护分治信息，是不行的。

6、【BZOJ4242】水壶（克鲁斯卡尔重构树，BFS）

目测是$IOI$题啊。

首先很显然，最小瓶颈生成树上查两点上最值。

$dijkstra$染色就可以了，具体见[JXOI2018]旅行者。

7、【BZOJ3712】Fiolki（并查集重构树）

建出$Krustra$重构树，然后我们知道，深度大的优先反应，同深度的优先级高的先反应。

按照这个双关键字排序，每次维护剩余的量，然后依次做就可以了。

8、【BZOJ2460】元素（贪心，线性基）

就是找一些数，插入线性基，都成功，并且最大化它们的和。

先排个序，然后依次插入线性基即可。

此外，我想到了$aysn$神仙比赛题，那题的条件和“当且仅当不存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或和相等”的使用方法是一样的，即都可以成功的插入所有元素，也就是说，如果我做过这道题，很可能就做出了那道比赛题了。