【BZOJ3504】危桥

题面

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3163

题解

无向图多源多汇问题（存在性的判断）

首先，往返$b_n$次，看做去$2b_n$次，如果把危桥的看成容量为$1$的双向边，就是去$b_n$次。

直接建立超级源和超级汇，

第一次$S$连$a1$、$b1$，$a2$、$b2$连$T$。先跑一边，看看能不能满流。

第二次$S$连$a1$、$b2$，$a2$、$b1$连$T$。先跑一边，看看能不能满流。

如果两次都能满流，则说明有解。

充分性：因为是无向图，所以如果本来有解，把$b1$和$b2$反过来肯定是有解。

必要性：如果只跑第一次，存在两个问题：

一：来自$b1$的流可能会混到$a$中，跑进$a2$，同理，来自$a1$的流可能会混到$b$中，跑进$b2$。

二：危桥只能走一次，但这样可能会正反走两次。

反过来跑，这两个问题都能解决，因为第一个问题揉在一起的流量会反过来，所以最大流一定减少，第二个问题如果第一次正反走两次，那第二次就是正正走两次，就受到限制了。

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