图论算法----最短路
经典算法
单源最短路：
1.Bellman_ford（可判负环，可有负边）
d[i]表示起点S到i的最短路，那么d[i]=min{d[j]+w[j][i]}且存在j->i的边代价为w[j][i]
经过证明如果不存在负圈最多通过V-1次松弛就可以完成复杂度O(V*E)(V为结点数，E为边数)
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<vector> 9 #define maxn 50010 10 #define maxm 100010 11 #define INF 0x3fffffff 12 using namespace std; 13 struct edge{ 14 int from,to,w; 15 edge(){} 16 edge(int _u,int _v,int _w){ 17 from=_u,to=_v,w=_w; 18 } 19 }; 20 edge G[maxm]; 21 int V,E; 22 void addedge(int u,int v,int w){ 23 G[E++]=edge(u,v,w); 24 } 25 int d[maxn]; 26 int n,m; 27 //d[i] = min{d[j]+w[j][i]} {j->i} 28 void bellman_ford(int s){ 29 V=n; 30 for(int i=0;i<V;++i)d[i]=INF; 31 d[s]=0; 32 while(1){ 33 bool flag =false; 34 for(int i=0;i<E;++i){ 35 edge e = G[i]; 36 if(d[e.from]!=INF&&d[e.to]>d[e.from]+e.w){ 37 d[e.to] = d[e.from]+e.w; 38 flag = true; 39 } 40 } 41 if(!flag)break; 42 } 43 } 44 int main (){ 45 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 46 if(n==0&&m==0)break; 47 int u,v,w; 48 E=0; 49 for(int i=0;i<m;++i){ 50 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 51 addedge(u-1,v-1,w); 52 addedge(v-1,u-1,w); 53 } 54 bellman_ford(0); 55 printf("%d\n",d[n-1]); 56 } 57 }
判负环：看一下是不是多于V-1次松弛，如果有则存在负环
1 bool HaveNagativeLoop(){ 2 memset(d,0,sizeof(d)); 3 for(int i=0;i<V;++i){ 4 for(int j=0;j<E;++j){ 5 edge e = G[j]; 6 if(d[e.to]>d[e.from]+e.w){ 7 d[e.to] = d[e.from]+e.w; 8 if(i==V-1)return true; 9 } 10 } 11 } 12 return false; 13 }
2.dijkstra(无负边)
对于上述的d[i]=min{d[j]+w[j][i]}如果d[j]当前值不是d[j]能达到的最小值那么显然在后面d[i]还将更新，如何避免这种情况
选择d[j]已经是最小，即S->j的最短距离不再更新，如何选取？每次选择距离最短且未被使用的结点，用这个结点对其他节点进行松弛复杂度O(V*V)
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<vector> 9 #define maxn 1010 10 #define maxm 100010 11 #define INF 0x3fffffff 12 using namespace std; 13 //d[i]=min{d[j]+w[j][i]} {d[j]已经不再更新} 14 //每次找最小d[j]然后松弛 15 int G[maxn][maxn]; 16 int d[maxn]; 17 bool used[maxn]; 18 int V; 19 void dijksta(int s){ 20 for(int i=0;i<V;++i){ 21 used[i]=false; 22 d[i]=INF; 23 } 24 d[s]=0; 25 while(1){ 26 int v =-1; 27 for(int i=0;i<V;++i){ 28 if(!used[i]&&(v==-1||d[i]<d[v]))v=i; 29 } 30 if(v==-1)break; 31 used[v]=true; 32 for(int i=0;i<V;++i){ 33 d[i]=min(d[i],d[v]+G[v][i]); 34 } 35 } 36 } 37 void init(int n){ 38 V = n; 39 for(int i=0;i<V;++i){ 40 for(int j=0;j<V;++j){ 41 if(i==j)G[i][j]=0; 42 else G[i][j]=INF; 43 } 44 } 45 } 46 int main (){ 47 int n,m; 48 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 49 if(n==0&&m==0)break; 50 int u,v,w; 51 init(n); 52 for(int i=0;i<m;++i){ 53 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 54 G[u-1][v-1]=w; 55 G[v-1][u-1]=w; 56 } 57 dijksta(0); 58 printf("%d\n",d[n-1]); 59 } 60 }
来优化一下上面的算法，每次需要选择最短的一个结点，这个可以使用一个优先队列来维护当前所有边里面权值最小的边，所以算法复杂度变为O(V*log(E))
使用邻接表存储图比较容易写
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<vector> 9 #define maxn 1010 10 #define maxm 100010 11 #define INF 0x3fffffff 12 using namespace std; 13 struct edge { 14 int to,w; 15 edge(){} 16 edge(int _to,int _w){ 17 to=_to;w=_w; 18 } 19 }; 20 typedef pair<int,int> P; 21 int V; 22 vector<edge> G[maxn]; 23 int d[maxn]; 24 void dijkstra(int s){ 25 priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q; 26 for(int i=0;i<V;++i)d[i]=INF; 27 d[s]=0; 28 q.push(P(d[s],s)); 29 while(!q.empty()){ 30 P p = q.top(); 31 q.pop(); 32 int v = p.second; 33 if(d[v]<p.first)continue; 34 for(int i=0;i<G[v].size();++i){ 35 edge e = G[v][i]; 36 if(d[e.to]>d[v]+e.w){ 37 d[e.to]=d[v]+e.w; 38 q.push(P(d[e.to],e.to)); 39 } 40 } 41 } 42 } 43 int main (){ 44 int n,m; 45 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 46 for(int i=0;i<n;++i)G[i].clear(); 47 V=n; 48 if(n==0&&m==0)break; 49 int u,v,w; 50 for(int i=0;i<m;++i){ 51 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 52 G[u-1].push_back(edge(v-1,w)); 53 G[v-1].push_back(edge(u-1,w)); 54 } 55 dijkstra(0); 56 printf("%d\n",d[n-1]); 57 } 58 }
3.floyd(任意两点的最短路，可有负边)
dp的思想 d[k+1][i][j]表示从0~k 里面选择中间结点从i到j的最短距离 那么当k为-1时d[0][i][j]=w[i][j]
考虑如何转移 从0~k-1中间选到0~k中选新的方案有两种情况：
不经过第k个结点 那么 d[k+1][i][j]=d[k][i][j]
经过第k个结点 那么d[k+1][i][j] = d[k][i][k]+d[k][k][j]
则方程为d[k+1][i][j]=min{ d[k][i][j]，d[k][i][k]+d[k][k][j]}
可以使用滚动数组来优化空间，由于d[k+1][][]只与d[k][][]有关，所以只要保证k是从小到大枚举的就可以节省以为空间，复杂度为O(V*V*V)
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <set> 5 #include <algorithm> 6 #include <map> 7 #include <queue> 8 #include<vector> 9 #define maxn 1010 10 #define maxm 100010 11 #define INF 0x3fffffff 12 using namespace std; 13 int d[maxn][maxn]; 14 int V; 15 void init(int n){ 16 V=n; 17 for(int i=0;i<V;++i){ 18 for(int j=0;j<V;++j){ 19 if(i==j)d[i][j]=0; 20 else d[i][j]=INF; 21 } 22 } 23 } 24 void floyd(){ 25 for(int k=0;k<V;++k){ 26 for(int i=0;i<V;++i){ 27 for(int j=0;j<V;++j){ 28 d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); 29 } 30 } 31 } 32 } 33 int main (){ 34 int n,m; 35 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 36 if(n==0&&m==0)break; 37 int u,v,w; 38 init(n); 39 for(int i=0;i<m;++i){ 40 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); 41 d[u-1][v-1]=w; 42 d[v-1][u-1]=w; 43 } 44 floyd(); 45 printf("%d\n",d[0][n-1]); 46 } 47 }
