20200915-单变量微分-z变换!
进度日志
- 公共课一: 政治
- 公共课二: 英语一
- 业务课一: 数学一
- 业务课二: 自动控制原理, 信号与系统, 嵌入式系统
20200915 火 阴晴
- 上午. 高等数学. 单变量微分. 教程与例题. 应用先放一边吧...
- 下午. 离散时间控制. z变换! 感觉尾型教授的书真不错. 看着舒服.
- 晚上. 聚餐喝酒唠嗑. 暴食カーミラ.
- 地堡人数目前为一. 先前友方单位已被派遣至新作战地域.
公共课一
NONE
公共课二
- 单词一组, 百分之五十.
业务课一
高等数学-教材习题-单变量微分
- 分段函数求导法. 关键是分界点处的导数!
- 左导数, 右导数.
- 三种方法求分界点处的导数
- 第一种: 用定义法求分界点处的导数, 或者左导数, 右导数.
- 第二种: 按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数.
- 第三种: 分界点处是连续点时, 求导函数在分界点处的极限值或左右极限.
- \(f(x_0)=A\to f'(x_0)=0\)
- 经典错误, 飞矢不动的误区.
- Potion入袋. 等价无穷小因子替换
- \(\displaystyle e^{{1\over x}ln(1+x)-1}-1\sim {1\over x}ln(1+x)-1,\ (x\to 0)\)
- \(设f(x)在x_0的空心邻域U_0(x_0,\ \delta)内可导, 且f(x)在 x_0处连续\)
- \(若存在极限\displaystyle \lim_{x\to x_0} f'(x) = A,\ 则f'(x)=A.\)
- 头疼的来了. 求高阶导数的表达式. (谁没事一直降维啊...)
- 第一种方法: 归纳法. (说了等于白说...)
- 第二种方法: 简单初等函数的n阶导数表达式.
- 第三种方法: 分解成简单的初等函数之和
- 有理函数与无理函数的分解
- 三角函数的分解
- 第四种方法: 用莱布尼茨法则求乘积的n阶导数
- 第五种方法: 泰勒公式的系数或者幂级数展开式的系数.
- 一点处.
| $$e(x)=e^x$$ | n=0, 可恢复 |
|---|---|
| $$\displaystyle (sin\ x)^{(n)}=sin(x+{\pi\over 2}n)$$ | n=0, 可恢复 |
| $$\displaystyle (cos\ x)^{(n)}=cos(x+{\pi\over 2}n)$$ | n=0, 可恢复 |
| $$(x\alpha)= \alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)x^{\alpha-n}$$ | n=0, 勉强可恢复 |
| $$ \displaystyle (ln\ x){(n)}={(-1)(n-1)!\over x^n}$$ | n=0... 直接形式都变了好嘛 |
-
感觉 \(ln\ x\) 的导数还是很特殊的. 形式都变了...
- \(\displaystyle {d\over dx}(ln\ x)={1\over x}\)
- \(\displaystyle \int {1\over x}dx \neq ln\ x+C\)
- \(\displaystyle \int {1\over x}dx = ln\ |x|+C\)
-
什么是莱布尼茨法则?
- \(\displaystyle [u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)\)
- 其中 \(\displaystyle C_{n}^{k}={n!\over k!(n-k)!},\ u^{(0)}(x)=u(x),\ v^{(0)}(x)=v(x)\)
-
让人开心的是乘积的项中有\(x^\alpha,\ \alpha > 1\)
- 因为这样一来求导必为有限项.
- 莱布尼茨公式中在某个k之后或者n-k之后就没有项了.
-
\((e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b}\)
-
有意思也令人头疼的来了!
- "取绝对值"/"取模" 算子 | | 对内部运算对象的可导性的改变
- \("f(x)\neq 0, f(x)在x=x_0处连续, \\则f(x)在x_0处可导是|f(x)|在x_0处可导的充分必要条件."\)
- $"设f(x)在点x=x_0处可导, 且f(x_0)=0 \则f'(x_0)=0是|f(x)|在x_0处可导的充分必要条件."
- 推导过程详见李范教材p.49
-
注意到\(\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} |g(x)|=0\)
-
灵活的 $ \cal zero$.
- g(a)=0
-
\[\displaystyle {g(x)\phi(x)-g(a)\phi(a)\over x-a}={g(x)\phi(x)\over x-a}={g(x)-g(a)\over x-a}\phi(x) \]
-
一个有意思的结论: 乘积的可导性.
-
两机体协作, 其中一个机体在某点处的不可降维性, 可通过调整另一机体在该点处的本维度的值为零来使组合机体在该点处可降维.
-
补偿一个零. 零点抹平了乘积的不可导性.
- 抹平了尖点.
-
\[设g(x)在x=a可导, \phi(x)在x=a连续而不可导\\g(x)\phi(x)在x=a处\begin{cases} 不可导, & 若g(a)\neq 0\\ 可导且导数为g'(a)\phi(a), & 若g(a)=0\end{cases} \]
- 两机体协作相互配合, 不擅长的点消失, 弥补.
![机体协作]()
-
图中可以清楚地看出, A点处的g(x)的不可导性被f(x)在该点处的零值给"弥补"了.
-
而其余B, C点处仍为不可导.
-
-
经典错误.
-
\(f(x)在一点处可导\) 操作的合法性, 有效性, 合规性 $$f(1+x)=af(x)$$ \(\downarrow\) 两边同时求导 错误, 未知f(x)在该点邻域也可导性. \(f'(1+x)=af'(x)\) \(\downarrow\) 令x=0 错误. 未知f(x)的导函数在该点处连续性 \(f'(1)=af'(0)\) -
唔. 一个函数f(x), 它在考察点处连续其实就不错了.
- TA要能在考察点处可导就真的可喜可贺了.
- 若能在该考察点处的邻域也可导, 那更加是锦上添花.
- 要该函数降维后, 在该点处还能保有连续性...
- 祖善积德, 烧高香吧!
-
Q: 诶, 初等函数降维虽然还是初等函数, 但其得到的初等函数可能会丧失连续性.
-
-
意味深い, 初等函数的求导与积分.
- 降维: 丧失连续性, 保有初等性.
- 升维: 丧失初等性, 保有连续性.
- 有得必有失么...
-
多项连乘积求导.
- 记得两边同时取对数!
- 注意内函数的正负, 先取绝对值后再取对数!
- 详见李范p.51-e.2.27
-
诶. 发现多对一. 不同高维可降至同一低维"点"处
- \(\displaystyle {d\over dx}ln(x-1)={1\over x-1}\)
- \(\displaystyle {d\over dx}ln|x-1|={1\over x-1}\)
-
全YoRHa机体, 切换攻击模式为黑之叹息.
- 一阶微分的形式不变性!
- 注意是一阶.
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看到幂指数函数\(f(x)^{g(x)}\), 先取对数再求导.
- 其实也可以把一个看成是幂函数.
- 即底数为变量, 幂指数为常数.
- 一个看成是指数函数.
- 即底数为常数, 幂指数为变量.
- 其实也可以把一个看成是幂函数.
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楚河汉界.
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$$d(x2+y2) $$ $$\displaystyle d({y\over x})$$ $$\displaystyle = {1\over 2}(xdx+ydy)$$ $$\displaystyle = {(xdy-ydx)\over x^2}$$ \(xdx+ydy\) \(xdy-ydx\) -
\(\sqrt{x^2+y^2},\ e^{arctan{y\over x}}\)
-
\(\displaystyle y'={x+y\over x-y}\) , 克里斯解一下微分方程.
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两个事实. 用来分析分段函数.
- 函数在某点可导则在该点处连续.
- 函数在某点可导则在该点处左右导数相等.
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本机体先观测连续性.
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分段函数分界点处的导数
- 要用导数的定义求解
- 或求左右导数(区间, 逼近, 极限)
- 或连续的条件下求导数的极限
- A2啊A2.
业务课二
离散系统控制
- 得了, 离散又要开始拖欠了.
Question-Flash-Point
- 额 f(x)可导, f(x)乘以-1, 也可导么
- 极限的性质. 乘以一个常数不改变敛散性.
- 注意内函数的正负, 先取绝对值后再取对数!
- 其实不太明白...
![机体协作]()
- 其实不太明白...
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