20200904-单变量积分-离散时间系统

进度日志

• 公共课一: 政治
• 公共课二: 英语一
• 业务课一: 数学一
• 业务课二: 自动控制原理, 信号与系统, 嵌入式系统

20200904 火 晴热

• 上午. 高等数学. 嗯... 一元积分学几何物理应用先放一放... 开始进入例题学习. 例题百分之三十.
• 下午. 离散控制. 二阶离散系统的性能分析. 十倍. 数字控制器系统的设计. 目前介绍两种方法, 一种是先求连续再求离散, 有个公式. 第二种是根轨迹, 还是挺有意思的. 映射. \(z=e^{sT}\)
• 晚上.又是暴食... 懒惰... 强欲... 这三者加一起... orz 这段时间搞什么呢... 自从那完超级大的炒面下肚我就能感受得到肚子愈来愈大...
• 中午么. 好像还行. 算是没有被打扰也看了会禅.

公共课一

NONE

公共课二

• 单词一组

业务课一

高等数学-教材-例题-一元函数积分学

• 反常积分(还是称呼其为广义积分吧...)

  • 积分区间无穷和被积函数无界
  • 十分注意无界与无定义

• 积分学应用的基本方法: 微元分析法

  • 最重要的莫属如何分割
  • 分割体现了观察的参照物.

• 什么是定积分? 定积分的

• 注意到分段函数的原函数仍然是连续的

  • 只不过求的时候是分段地求, 然后最后找一个点拼接起来. 使其连续
  • 第二种求法是利用变上限积分函数, 下限的确定体现了事先确定粘合点.

• ...

• 实在忍不住了. A2要是见我这段时间进入单变量积分的区域后根本没有整理过她提交的汇报... 会暴血砍我吧...

• 这积分学...起始为8月30号...

• 不对, 最早一份报告是0829...已经整整6个自治周期... 约摸...15个块...

业务课二

离散系统控制-教材-性能与设计

• 二阶采样控制系统的性能

• 稳定性分析

  • 一元二次多项式 \(q(z)=1+G(z)\) , 其两个根都落在单位圆内的充要条件为:
    • \(|q(0)\lt 1|, q(1)\gt 0, q(-1)\gt 0\)
    • 可将Z域特征方程映射至S平面检验系数是否为正.
    • 因为二阶, 切换出赫判刀你懂的.

• 注意到分析动态性能时的一个重要考察点 \(\displaystyle {T\over \tau}\)

  • 这是什么?

    \[\displaystyle Plant: G_p={K\over s(\tau s+1)} \]

  • \(\tau\) 为二阶系统时间常数, (说成待采样系统比较好吧, 里面可能还要各种弯弯绕回路PID控制器之类的?)

  • T为采样时间, 可以想到之前GPIO对扇叶输出0, 1幅值的的采样频率. /笑 记得那时候老师说的是, 10倍与产生的最大可能频率吧...

  • 现为计算稳定系统所允许的最大增益\(K\tau\). 即在保证闭环根轨迹不跑出单位圆的情况下, 系统增益最大可以取多少. 而这与采样时间与二阶系统时间常数之比可以联系起来.

  • 一般地, 当计算机具有足够的运算速度时, 可以取\(\displaystyle {T\over \tau}\) 为0.1. 在此条件下, 离散系统的增益上限取值较大. (20.4)

    • 有了一个标准, 得到了待考察的参数, 我们就可以在来确定画出一张表即可以得到一张表: \(\displaystyle K\tau - {T\over \tau}\)
    • 增益和采样周期

• 当增益和采样周期变化时, 对于二阶采样控制系统. 我们(A2, 2B, 9S)目前对主要考察的性能指标有:

  • 阶跃响应的最大超调量
  • 斜坡响应的稳态误差
  • 误差平方积分指标

• ok, 明确了感兴趣的点, 那么增益K和采样周期T对其有什么影响呢?

  • 比较几张图\(\cal {MSC-12^{th}-CN-p.787}\)
  • 对于给定的 \(\displaystyle {T\over \tau}\), 增大 \(K\tau\)的取值, 可以降低系统斜坡响应的稳态误差, 即跟踪精度提高.
  • 但是同时又会使阶跃响应的超调量和调节时间变大.
    • 嗯, 超调量大了, 稳态精度提高, 调节时间变大. 这个很有意思.
    • ​ 这感觉就和人很像了, 你不鞭策他(增益大), 他就达不到那个精度. 目标要定的高一点大概就是这么回事. 但也要注意超调量过大会引起的系统崩坏.

• 注意到一个描述, 思路

  • \(\tau_2 =0.005\) s (秒), $\tau_1 =0.1 s (秒)
  • 从\(\displaystyle {0.005\over 0.1}=0.05\), 可以得出:
  • \(\tau_2\) 是主导极点时间常数的\(5\) %
  • 故可以忽略! 要对此敏感! 加以必要说明

• 了解一下, 误差平方积分指标.

  • \(\displaystyle I=\int_{0}^{\infty} e^2(t)dt\)
  • 注意怎么考察的. 给定\(\displaystyle {T\over \tau}\), 取\(K\tau\), 使 I 最小.

• 性能分析比较

  • 在选取了一组参数后, 适当降低采样时间间隔 \(\displaystyle {T\over \tau}\)
  • 则可望进一步减小
    • 系统阶跃响应的超调量
    • 和斜坡响应的稳态误差

• 我们怎么没有考虑上升时间呢? 只考虑超调量和稳态误差?

  • 是不需要考虑么... 计算机处理速度太快了?
  • 只需要考虑阶跃响应 P.O.对系统的"破坏"?
  • 和系统响应的稳态误差? 准确跟踪?
  • 还有平方积分误差.
  • 好像对数字系统的快速性不担心, 只是担心其精度.

• 好了好了, 你所期待的2B, esp32, 终于要上场了- 数字校正器.

• 首先要意识到, 数字控制系统中, 引入数字计算机(微处理器)作为校正控制器是十分有效的.

  • 举个栗子: 控制器的引入对消极点.
  • 校正后系统对阶跃信号的输出只等到第4个采样周期也就是4T时, 系统的输出就跟踪上了阶跃输入.
    • 而未校正的系统在7T时离稳态还有一段距离.
  • 超调量从原来的45%降到了4%!

• 好的好的. 那我们怎么来设计这个校正器呢?

• 嗯~ 目前先介绍两种方法.

  • \(G_c(s)\rightarrow D(z)\) 转换法
  • Z平面根轨迹法...

• 先来看第一种方法. 思路是先算连续再算离散.

  • 算出连续时间校正的控制器后

  • 确定采样时间间隔.

    • 采样频率十倍与系统带宽
    • 25倍时性能最好但是对处理器性能要求高

  • 两种逼近方式

  • 第一种逼近方式:

    • 一阶校正控制器
    \[\displaystyle G_c(s)=K{s+a\over s+b}\rightarrow D(z)=C{z-A\over z-B} \]
    • \(A=e^{-aT}, B=e^{-bT}\)
    • \(\displaystyle C{1-A\over 1-B}=K{a\over b}, z=e^{sT}\)

  • 第二种逼近方式: 梯形法(Tustin 法)

• 设计小结

  • 通常, 我们愿意选择较小的周期, 以便保证基于连续系统的设计结果可以精确地转换到Z平面.
  • 但是, 太小的采样周期又会加重计算负担
  • 一般情况下, 人们将采样周期取为\(\displaystyle T={1\over 10f_B}\)

• "幸运的是, 大部分实际控制系统都有二阶主导极点, 因而能够用二阶系统降阶近似."

• 第二种方法: Z平面根轨迹法...

  • ...有点...
  • Z平面单位圆为S平面的虚轴.
  • S平面的等阻尼比射线映射到Z平面成为了曲线.
    • 在阻尼比为零时为单位圆
    • Z平面上的阻尼系数\(\zeta\) 的等值曲线
  • 根轨迹的特征点 其中之一
    • 根轨迹可能会离开实轴或者与实轴有交点.
    • 也就是确定实轴上的分离点, 交汇点.

• 许多系统的设计要求: \(\displaystyle \zeta = {1\over \sqrt{2}}\)

Question-Flash-Point

• 一般情况下, 人们将采样周期取为\(\displaystyle T={1\over 10f_B}\)

  • \(\displaystyle f_B={\omega_B\over 2\pi}\)?
  • 角频率和频率的关系?
  • 或者说频率和角频率的映射.

• 什么是系统的带宽?

  • 系统带宽\(\omega_B\)衡量了系统实现输入信号的能力
  • 定义为: 幅频特性曲线上, 对数幅值增益从低频值下降3dB时所对应的频率
  • \(\omega_B\) 增大, 上升时间\(T_r\) 减小

• 顺带一提, 谐振峰值\(M_{p\omega}\)

  • 谐振