回溯算法
1.概念
回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现已不满足求解条件时,就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
许多复杂的、规模较大的问题都可以使用回溯法,有“通用解题方法”的美称。
2.基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先搜索的策略,从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含,就从该结点出发继续探索下去,如果该结点不包含问题的解,则逐层向其祖先结点回溯。(其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法)。
若用回溯法求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。
而若使用回溯法求任一个解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3.一般步骤
(1)针对所给问题,确定问题的解空间,首先应明确定义问题的解空间,问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
(2)确定结点的扩展搜索规则
(3)以深度优先方式搜索解空间,并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4.算法框架
(1)问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件,记为f(ai)。
(2)非递归回溯框架
1 int a[n],i; 2 初始化数组a[] 3 i=1; 4 while(有路可走&&未达到目标)//还未回溯到根结点 5 { 6 if(i>n)//搜索到叶结点 7 { 8 搜索到一个解,输出 9 } 10 else//处理第i个元素 11 { 12 a[i]第一个可能的值 13 while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内) 14 { 15 a[i]下一个可能的值 16 } 17 if(a[i]在搜索空间内) 18 { 19 标识占用的资源 20 i=i+1;//扩展下一个结点 21 } 22 else 23 { 24 清除所占的状态空间//回溯 25 i=i-1; 26 } 27 } 28 }
2.递归回溯框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索,在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单,其中i为搜索的深度,框架如下:
1 int a[n] 2 try(int i) 3 { 4 if(i>n) 5 { 6 输出结果 7 } 8 else 9 { 10 for(j=下界;j<=上界;j++)//枚举i所有可能的路径 11 { 12 if(fun(j))//满足界限函数和约束条件 13 { 14 a[i]=j 15 ...... 16 try(i+1); 17 回溯前的清理工作(如a[i]置空值等) 18 } 19 } 20 } 21 }