2018 Multi-University Training Contest 1
Maximum Multiple
题意：
给出n，要求找到3个正整数x,y,z，使得x|n，y|n，z|n，x+y+z=n，并且x*y*z的值最大。
分析：
设x=n/r，y=n/s，z=n/t，且r<=s<=t，则1/r+1/s+1/t=1 => 3*1/r >=1，即r<=3。
当r=2时，1/s+1/t=1/2 => 2*1/s >=1/2，即s<=4,在根据s的取值确定t值。
同理，可以解出答案大概为（n/3,n/3,1/3），（n/4,n/4,n/2），（n/2,n/3,n/6）。
再看如果一个数能被2,3,6整除，那么它也可以被2,4,4整除，但是2*3*6>2*4*4，所以排除第三种情况。
代码：
#include <map> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) const int maxn=1e6+100; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,T; int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); while(T--) { ll ans=1; scanf("%d",&n); if(n%3==0){ ans=ans*(n/3)*(n/3)*(n/3); } else if(n%4==0){ ans=ans*(n/4)*(n/4)*(n/2); } else{ ans=-1; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }
Balanced Sequence
题意：
把n个字符串任意拼接后，求最长平衡子串（不一定连续）。定义平衡子串为连续的一段子串且左右括号匹配。是不是看上去有点绕，对于第一个样例)()(()(，它的平衡子串为【1,2】和【4,5】，这里【1,2】或者【4,5】的子串是连续的并且左右括号匹配，但是对于这两个子串来说他们是不连续的。
分析：
既然可以不用连续，我们首先把匹配的子串分离出来，然后每个字符串就变成了a个右括号和b个左括号，然后问题就变成了该怎么拼接这n个字符串。具体排序规则在代码中有解释。
参考资料：大佬博客
#include <set> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) #define FI(n) FastIO::read(n) const int maxn=1e5+100; int n,q,T; char s[maxn]; struct Node { ll l,r; bool operator < (const Node& rhs) const { //左少右多 vs 左多右少 if(l<=r&&rhs.l>=rhs.r) return false; //左多右少 vs 左少右多 else if(l>=r&&rhs.l<=rhs.r) return true; //左多右少 vs 左多右少 else if(l>=r&&rhs.l>=rhs.r) return r<rhs.r; //左少右多 vs 左少右多 else if(l<=r&&rhs.l<=rhs.r) return l>rhs.l; } }; Node node[maxn]; void solve(ll& l,ll& r,ll& ans) { int len=strlen(s); for(int i=0;i<len;i++){ if(s[i]=='(') l++; else{ if(l>0) l--,ans+=2; else r++; } } } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); while(T--) { ll ans=0; scanf("%d%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%s",s); node[i].l=node[i].r=0; solve(node[i].l,node[i].r,ans); } sort(node+1,node+n+1); ll L=node[1].l,R=node[1].r; for(int i=2;i<=n;i++){ if(L<=node[i].r){ ans+=L*2; R+=node[i].r-L; L=node[i].l; } else{ ans+=node[i].r*2; L+=node[i].l-node[i].r; } } printf("%lld\n",ans); } return 0; }
Triangle Partition
题意：
给出3*n个点，3个点组成一个三角形，并且所有三角形之间不相交。
分析：
按照坐标的x，y坐标排序后，从小到大挑选。官方题解是用了凸包，赤裸裸的水过~~~
代码：
#include <map> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) const int maxn=1e6+100; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,T; struct Point { int x,y,id; }; Point p[maxn]; bool cmp(Point a,Point b) { if(a.x==b.x) return a.y<b.y; return a.x<b.x; } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); n=n*3; for(int i=1;i<=n;i++){ p[i].id=i; scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); } sort(p+1,p+n+1,cmp); for(int i=1;i<=n;i+=3){ for(int j=i;j<i+3;j++){ if(j>i) printf(" "); printf("%d",p[j].id); } printf("\n"); } } return 0; }
Distinct Values
题意：
给出数组的长度n，m个子区间，怎样赋值使得给出子区间内的每一个值都不相同，同时使得总数组的字典序最小。
分析：
先把子区间个按照l，r从小到大排个序。如果相邻的区间不想交，直接从1开始赋值就好了，如果有交集，用vis数组标记交集部分用了什么数，给该区间赋值时跳过这些值就好了。
代码：
#include <set> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) #define FI(n) FastIO::read(n) const int maxn=1e5+100; int n,q,T; int L,R,lastL,lastR; int a[maxn],vis[maxn]; struct Line { int l,r; bool operator < (const Line& rhs) const { if(l==rhs.l) return r<rhs.r; return l<rhs.l; } }; Line l[maxn]; //flag:true 从1开始赋值 false：全部赋值为1 void fillArray(int l,int r,int start,bool flag) { int val=start; for(int i=l;i<=r;i++){ a[i]=val; if(flag) val++; } } //处理交集部分 void solve(int pos,int pre) { L=l[pos].l,R=l[pos].r; lastL=l[pre].l,lastR=l[pre].r; //交集部分的数字标记为要赋值区间的id for(int i=L;i<=lastR;i++){ vis[a[i]]=pos; } int c=1; for(int i=lastR+1;i<=R;i++){ //如果c在该区间被赋值过，跳过 while(vis[c]==pos) c++; a[i]=c; vis[c]=pos; } } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); while(T--) { cls(vis); scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=q;i++){ scanf("%d%d",&l[i].l,&l[i].r); } sort(l+1,l+q+1); int la=1; for(int i=1;i<=q;i++){ L=l[i].l,R=l[i].r; lastL=l[la].l,lastR=l[la].r; //第一个子区间 if(i==1){ fillArray(1,L-1,1,false); fillArray(L,R,1,true); continue; } //如果有交集 if(L<=l[la].r){ //如果该区间包括在上一个区间内，跳过，因为一定是不同的 if(R<=l[la].r) continue; solve(i,la); } else{ fillArray(lastR+1,L-1,1,false); fillArray(L,R,1,true); } la=i; } //处理后面剩余的部分 fillArray(l[la].r+1,n,1,false); for(int i=1;i<=n;i++){ if(i>1) printf(" "); printf("%d",a[i]); } printf("\n"); } return 0; }
Chiaki Sequence Revisited
题意：
给出一个数组的通项公式，求前n项的和。
分析：
打表找规律题？大佬说什么就是什么吧……数组的值是没有什么规律的，但是数组的值出现的次数有规律，wtf。
好像看上去没什么规律，但是如果把第一项变为1，规律就出来了。
前2^n项的值为前2^(i-1)的值复制后，再把第2^i项+1，什么意思？好像还是有点难懂。
比如1,2 -> 1,3 1,2,1,3 -> 1,2,1,4 1,2,1,3,1,2,1,4 -> 1,2,1,3,1,2,1,5
然后通过打表找规律可以知道出现次数为i的数的首项为2^(i-1)，公差为2^i（万恶的打表啊），所以我们就可以通过二分先求出第n个数的值，再通过等差数列求和得到前n个数的和。参考的大佬的博客，对代码加上了自己的理解。
参考资料：大佬博客
代码：
#include <set> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) const int mod=1e9+7; const int maxn=1e5+100; ll n,T,inv; //num:2^i区间共有多少数 //all:2^i区间所有数出现次数之和 ll num[maxn],all[maxn]; void init() { //2的逆元 inv=(mod+1)>>1; num[0]=1;all[0]=1; for(int i=1;i<=62;i++){ num[i]=num[i-1]*2; all[i]=all[i-1]*2+1; } } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); init(); scanf("%lld",&T); while(T--) { ll ans=0; scanf("%lld",&n); //计算出第n个数的值pos ll m=n,pos=0; for(int i=62;i>=0;i--){ if(m-all[i]>=0){ m-=all[i]; pos+=(1ll<<i); } } //如果pos出现的次数少于总共的次数 pos+=(m>0); //可能pos的值没有全部出现，所以放在后面计算 //cnt：总共计算了多少数的和 ll now=pos-1,cnt=0; //出现次数为i的数，首项为2^(i-1),公差为2^i for(int i=1;i<=62;i++){ if(num[i-1]>now) break; //首项 项数 末项 ll s=num[i-1],step=(now-s)/num[i]+1,e=s+(step-1)*num[i]; //出现次数为i的数的和 ll sum=(s+e)%mod*(step%mod)%mod*inv%mod; ans=(ans+sum*i%mod)%mod; //出现次数为i的数有step项 cnt+=step*i; } //把出现次数为pos的数的和加入答案 //因为把第一项2变为了1，所以答案需要+1，计算的项数之和需要减一 ans=(ans+1+(n-cnt-1)%mod*(pos%mod))%mod; printf("%lld\n",ans); } return 0; }
RMQ Similar Sequence
题意：
定义RMQ（A，l，r）为A数组在【l，r】区间内最大值的最小下标，如果两个数组任意子区间的RMQ都相同，那么定义这两个数组是同构的。现在给出A数组，B数组为在【0,1】之间的任意实数，且符合均匀分布。如果A，B同构，那么B的权值为
，否则为0，输出B的权值的期望是多少。
分析：
以下截取自大佬博客：
对于这段话我说下我的理解吧，首先如果RMQ Similar，则A和B笛卡尔树同构，这个需要看一下笛卡尔树的性质。
因为按照中序遍历可以得到原数组，所以我们可以认为一个子树就是一个子区间。并且，加上第二条性质，如果同构，那么子区间一定是RMQ Similar的，实在不行就手动模拟一下，很容易看出来的。
对于任一B排列与A同构的概率，先考虑一个数时，无论怎么放，都是同构的。在加上第二个数，这时候就要考虑这个子区间对应的子树，我可以放在这个子树上对应的任意位置，所以这个数放对的概率就是1/sz……对每一个数都求一遍概率，所以整体同构的概率就是每一个数对应的概率相乘。
均匀分布的期望为1/2*（b-a），为1/2，所以nX的期望为nE（x），为n/2.
所以整体期望就为
，因为有取模，所以求下逆元。
#include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define ll long long #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) const int mod=1e9+7; const int maxn=1e6+100; const int inf=0x3f3f3f3f; ll inv[maxn]; stack<int>st; struct Tree { int sz,val; int l,r,fa; }; Tree t[maxn]; void init(int n) { while(!st.empty()) st.pop(); for(int i=0;i<=n;i++){ t[i].l=t[i].r=t[i].fa=t[i].val=t[i].sz=0; } t[0].val=inf; st.push(0); } //建立一颗笛卡尔树 void build(int n) { for(int i=1;i<=n;i++){ while(!st.empty()&&t[st.top()].val<t[i].val) st.pop(); int fa=st.top(); t[i].fa=fa; t[i].l=t[fa].r; t[t[fa].r].fa=i; t[fa].r=i; st.push(i); } } //求每一个子树的大小 void dfs(int u) { if(u==0) return; t[u].sz=1; dfs(t[u].l); dfs(t[u].r); t[u].sz+=t[t[u].l].sz+t[t[u].r].sz; } //求1~maxn所有数的逆元 void getInv() { inv[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++){ inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; } } int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); int n,T; getInv(); scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%d",&n); init(n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&t[i].val); } build(n); dfs(t[0].r); ll ans=n*inv[2]%mod; for(int i=1;i<=n;i++){ ans=ans*inv[t[i].sz]%mod; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }
Time Zone
题意：
给出北京时间，输出所给时区的相对应的时间。
分析：
首先要知道怎么不同时区时间怎么转换，因为给定了UTC+X，所以该时区的时钟就是h+（X-8），分钟也对应这么处理一下，注意各种细节的处理就好了。
代码：
#include <map> #include <queue> #include <vector> #include <math.h> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; #define ull unsigned long long #define cls(x) memset(x,0,sizeof(x)) #define clslow(x) memset(x,-1,sizeof(x)) const int maxn=1e6+100; const int inf=0x3f3f3f3f; int T,a,b,x,y; bool negative,flag; char s[10]; int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); scanf("%d",&T); while(T--) { x=y=0; flag=false; scanf("%d%d%s",&a,&b,s); int len=strlen(s); if(s[3]=='-') negative=true; else negative=false; for(int i=4;i<len;i++){ if(s[i]=='.'){ flag=true; continue; } if(flag) y=s[i]-'0'; else x=x*10+(s[i]-'0'); } if(negative) x=-x,y=-y; if(flag){ b=b+y*60/10; if(b>=60) a++,b=b%60; if(b<0) a--,b=(b+60)%60; } a=((a+x-8+24-1)%24+1)%24; printf("%02d:%02d\n",a,b); } return 0; }
