九校联考-DL24凉心模拟Day1T3 三米诺 (tromino)

题目背景

金企鹅同学非常擅长用1*2的多米诺骨牌覆盖棋盘的题。有一天，正 在背四六级单词的他忽然想：既然两个格子的积木叫“多米诺(domino)”，那 么三个格子的的积木一定叫“三米诺(tromino)”了！用三米诺覆盖棋盘的题 怎么做呢？

题目描述

用三米诺覆盖3n 的矩形棋盘，共多少种方案？三米诺可旋转；两种 方案不同当且仅当这两种图案直接覆盖在一起无法重叠。

输入输出格式

输入格式：

一行一个整数n(n<=10^40000)，表示棋盘列数。

输出格式：

一行一个整数，表示方案数，对998244353 取模。

输入输出样例

输入样例#1

2

输出样例#1

3

输入样例#2

3

输出样例#2

10

输入样例#3

29

输出样例#3

543450786

说明

对于10% 的数据，n <=5；
对于30% 的数据，n <=10^6；
对于40% 的数据，n <=20001000；
对于60% 的数据，n <=10^9；
对于80% 的数据，n <=10^1000
对于100% 的数据，n<=10^40000。

请在oeis搜索A134438数列并用矩阵，十进制快速幂优化
标程里的矩阵是手玩出来的...可能会写？

标程

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int tb[9][9] = {
    {1, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1},
    {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1},
    {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0},
    {0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0},
    {0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0},
};

const int N = 1000005, P = 998244353;
char s[N];
int n;

struct matrix {
    ll g[9][9];
    matrix(){
        memset(g, 0, sizeof(g));
    }
    matrix operator * (const matrix &b) const {
        matrix c;
        for(int i = 0; i < 9; i++)
            for(int j = 0; j < 9; j++)
                for(int k = 0; k < 9; k++)
                    c.g[i][j] = (c.g[i][j] + g[i][k] * b.g[k][j]) % P;
        return c;
    }
} mtx, ans, tmp, pw[10];

int main(){
    freopen("tromino.in","r",stdin);freopen("tromino.out","w",stdout);
    scanf("%s", s);
    n = strlen(s);
    for(int i = 0; i < 9; i++)
        for(int j = 0; j < 9; j++)
            mtx.g[i][j] = tb[j][i];
    for(int i = 0; i < 9; i++)
        pw[0].g[i][i] = 1;
    for(int i = 1; i <= 9; i++)
        pw[i] = pw[i - 1] * mtx;
    ans = pw[0];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        tmp = ans = ans * ans;
        ans = ans * ans;
        ans = ans * ans * tmp * pw[s[i] - '0'];
    }
    printf("%lld\n", ans.g[0][0]);

    return 0;
}