1.6期末模拟题题解

1.9更新

1. 二分法代码写了一下,也是有坑的 ;P
2. 贴几个选择题相关的链接,和老师发的期末范围

期末考试题型与分值分布：

python语言，4个选择，2个编程 python基础语法
算法，2个选择，2个编程
网络，5个选择 http相关
数据思维，5个选择，2个编程（编程都是numpy） numpy基础用法
人工智能慕课，4个选择 人工智能相关

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本篇题解每一份代码都有坑，请慎重复制

1. 上台阶

小明要上一个n级台阶，他每次可以上1级或者直接上2级，请问小明一共有几种不同的方法上台阶？
例如，对于一个3级的台阶，小明有3种不同的方法上去：1）每次上1级。2）先上1级，再直接上2级。3）先直接上2级，再上1级。

• 题解
  思考对于第i阶台阶，可从第i-1阶和第i-2阶走过来，走到第0/1阶都只有1种方式，可写出递归方程

\[f(i)=f(i-1)+f(i-2),f(0)=1,f(1)=1 \]

递归程序：时间复杂度\(O(2^n)\)

def f(n):
      if n==1:
            return 1
      return f(n-1)+f(n-2)
n=int(input())
print(f(n))

观察到\(f(i-2)\)还可被\(f((i-1)-1)\)重复调用，可转化为记忆化搜索（python写不了,下面是c++），将\(f(i)\)的值在第一次访问后记录下来，节省时间/空间。时间复杂度\(O(n)\)（常数较大）

#include<cstdio>
#include<cstring>
int f[10000]
int func(n)
{
      return f[n]? f[n]:fn[n]=func(n-1)+func(n-2);
}
int main()
{
      int n;
      scanf("%d",&n);
      printf("%d",func(n));
      return 0;
}

记录后观察数组数据/转移方程，可以看出是fib，利用单层循环可解决。时间复杂度\(O(n)\)

f=[0]*1000
n=int(input())
f[0]=1
f[1]=1
for i in range(2,n):
      f[i]=f[i-1]+f[i-2]
print(f[n])

此处还可利用线性代数优化时间复杂度到\(O(logn)\)

2. 黄金分割

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
要求：从键盘输入一个整数n作为整体，将n分解为两个整数n1和n2（假设n1<=n2），使得n1+n2=n，模拟黄金分割，找到n1与n2比值和n2与n比值最接近的那组数据，并且将该比值以及n1、n2的值存入列表并输出。
例如，n=5，可以分解为[1,4]和[2,3]两组，满足上述要求的是[2, 3]，将[0.6666666666666666, 2, 3]存入列表并输出。

• 题解
  暴力枚举每一组拆分情况,找到最接近的解,时间复杂度\(O(n)\)

n = int(input(''))
cek=0.618
E=1e-6
_min=10000000
ans=[]
for i in range(1,n):
    if (abs((n-i)/i-cek)<_min):
        ans=[(n-i)/i,i,n-i]
        _min=abs((n-i)/i-cek)
print(ans)

3. 卖鸭子

一个人赶着鸭子去每个村庄卖，每经过一个村子卖去所赶鸭子的一半又一只。这样他经过了n个村子后还剩m只鸭子，问他出发时共赶多少只鸭子？（n和m是输入的已知值）

• 题解
  反向看问题,每走过一个村庄得到一只鸭子再翻倍,时间复杂度\(O(n)\)

n = eval(input())
m = eval(input())
while(n!=0):
    m=(m+1)*2
print(m)

也可根据二进制特性\(O(1)\)解决

4. 二分法求方程的根

请使用二分法求方程

\[f(x)=-sin(x)e^x+15\times cos(x)\times \sqrt x \]

在范围内[2,5]之间的根root, 要求f(root)的值与0值的误差小于等于1e-8。已知f(2)<0, f(5)>0。要求所求根保留8位小数输出

• 题解
  由于已知\(f(2)<0, f(5)>0\)二分答案判断中点值处函数值大小,根据正负选择下一步二分区间

import math
def f(x):
    return -math.sin(x)*math.e**x+15*math.cos(x)*x**0.5
E=1e-8
l=2
r=5
mid=(l+r)/2
while(abs(f(mid))>E):
    if( f(mid)>0):
        l=mid
    else:
        r=mid
    mid=(l+r)/2
print(mid)

5.足球比赛

有三只球队，每只球队编号分别为球队1，球队2，球队3，这三只球队一共需要进行 n 场比赛。现在已经踢完了k场比赛，每场比赛不能打平，踢赢一场比赛得一分，输了不得分不减分。已知球队1和球队2的比分相差d1分，球队2和球队3的比分相差d2分，每场比赛可以任意选择两只队伍进行。求如果打完最后的 (n-k) 场比赛，有没有可能三只球队的分数打平。


输入描述:
第一行包含一个数字 t (1 <= t <= 10)
接下来的t行每行包括四个数字 n, k, d1, d2(1 <= n <= 10^12; 0 <= k <= n, 0 <= d1, d2 <= k)
输出描述:
每行的比分数据，最终三只球队若能够打平，则输出“yes”，否则输出“no”

• 题解
  简单的结论题,但因为是结论题所以不简单........

在踢完\(k\)场比赛后,分数可能有以下四种情况

	球队1	球队2	球队3
1	x-d1	x	x-d2
2	x+d1	x	x-d2
3	x-d1	x	x+d2
4	x+d1	x	x+d2

根据题意,表格中的任意一个数都应该是正整数,且和为\(k\).则可在上述四种中找出正确的组合.

1. 若第一种情况成立,打平需要让1队/3队分别获得d1/d2分,再将剩下的分数三等分
2. 若第二种情况成立,打平需要让2队/3队分别获得d1/d1+d2分,再将剩下的分数三等分
3. 若第三种情况成立,打平需要让1队/2队分别获得d1+d2/d2分,再将剩下的分数三等分
4. 若第四种情况成立,打平需要让[1/3中较小的一队]/2队分别获得\(max\{d1,d2\}-min\{d1,d2\}\)/\(max\{d1,d2\}\)分,再将剩下的分数三等分

若符合以上四种情况中的任意一种则可输出'yes',否则输出'no'

t = int(input())
for i in range(t):
    [n, k, d1, d2] = [int(x) for x in input().split(' ')]
    r = n - k        
    if d1>d2:
        x = 2*d1-d2
        y = d1
    else:
        x = 2*d2-d1
        y = d2
    if (r-(2*d1+d2))>=0 and (r-(2*d1+d2))%3==0 and (n-3*(d1+d2))>=0 and (n-3*(d1+d2))%3==0:
        print('yes')
    elif (r-x)>=0 and (r-x)%3==0 and (n-3*y)>=0 and (n-3*y)%3==0:
        print('yes')
    elif (r-(d1+d2))>=0 and (r-(d1+d2))%3==0 and (n-3*y)>=0 and (n-3*y)%3==0:
        print('yes')
    elif (r-(d1+2*d2))>=0 and (r-(d1+2*d2))%3==0 and (n-3*(d1+d2))>=0 or (n-3*(d1+d2))%3==0:
        print('yes')
    else:
        print('no')

6.数组基本操作

创建初始值为1，终值为12，元素个数为12的等差数组，使其元素为整数，改变数组形状为3行4列的二维数组，将数组中值小于3或大于9的元素值设为0，最后选取数组的第一列和最后一列输出。

• 题解
  考察numpy基本操作 numpy标准文档

import numpy as np
l=np.arange(1,13,1,int) #创建初始值为1，终值为12，元素个数为12的等差数组，使其元素为整数
x=l.reshape(3,4)        #改变数组形状为3行4列的二维数组
x[x<3]=0
x[x>9]=0                 #将数组中值小于3或大于9的元素值设为0
print(x[:,1],x[:,-1])    #最后选取数组的第一列和最后一列输出

7.九九乘法表

for i in range(1,10):
    for j in range(1,i+1):
        print('{0}*{1}={2}'.format(i,j,i*j),end=' ')
    print()

(不知道为什么过不了,明明和图片一样)

8.二分法进行数字查找

请使用二分法在一个升序列表中查找两个数，使得两者的立方和等于给定的数X。
如果找到了，请输出这两个数，并用空格分隔；如果没有找到，请输出-1

• 题解
  循环找第一个数,二分找第二个

def find(A,left):
      l=0,r=A.len()
      while( l < r):
            mid=(l+r)//2
            if(left == A[mid]**3):return mid
            if (left<A[mid**3]):
                  r=mid
            else:
                  l=mid
      return -1


for i in A:
      ans=find(A,x-i**3)
      if(ans != -1):
            print(i,A[ans])
            break
if(ans==-1):
      print('-1')

9.公式计算并打印

编写一个程序，根据给定的公式计算并打印值:

\[Q=\sqrt{ {2\times C \times D}/ {H} } \]

以下是C和H的固定值:C是50。H是30。
D是一个变量，它的值应该以逗号分隔的序列输入到程序中。

import math
c = 50
h=30
t=[]
t = map(int,input().split(','))
for d in t:
    print(math.sqrt(2*c*d/h))

这题不知道输出格式...似乎也过不了

10.数组基本操作

a是一个n行m列的二维数组，求出数组周边元素之和。

print(l.sum(axis=1)[0]+l.sum(axis=1)[n-1]+l.sum(axis=0)[0]+l.sum(axis=0)[m-1]-l[0][0]-l[0][m-1]-l[n-1][0]-l[n-1][m-1])

11数组基本操作

代码中score表示n个学生3门功课的成绩表，数据已经生成
要求：
1. 求出每门课程的最高分以及对应的行索引，输出最高分及行索引（从第1行开始计数）。
2. 求出每个学生的平均成绩并输出。

print(np.amax(score,axis=1))
print(np.argmax(score,axis=1))
print(np.mean(score,axis=1))