Codeforces 1523D Love-Hate(随机化算法，sos dp)

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题目大意

  有\(n\)个人，\(m\)个物品，每个人最多喜欢\(p\)个物品，要你选一个物品的集合，这个集合中的所有物品都被不少于\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)的人喜欢。

解题思路

  很有意思的一道题，通过这个题学习了SOS dp和随机化算法。首先我们选50个人出来，这50个人中所有人喜欢的物品的子集都不是最优解的可能性是\(\frac{1}{2^{50}}\)，概率十分的低，所以我们大可以认为选出的50个人中的一个子集必定是最优解。
  然后就是怎么求最优解了，我们可以枚举每个人喜欢物品的集合的子集\(s\)，如果\(n\)个集合中\(s\)的超集不少于\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)个，那么这个子集就是解中的一个。怎么求超集呢？这就用到sos dp了。首先把抽出来的这个人所有喜欢的物品拉出来当作一个集合，然后再统计出所有人喜欢的物品与这个集合的交集，然后用sos dp求出来所有交集的超集就行了。

代码

const int maxn = 2e5+10;
const int maxm = 2e6+10;
ll arr[maxn], dp[maxn];
int main() {
    IOS;
    srand(time(0));
    int n, m, p; cin >> n >> m >> p;
    for (int i = 1; i<=n; ++i) {
        string s; cin >> s;
        for (int j = 0; j<m; ++j) arr[i] |= ((1LL*(s[j]=='1'))<<j);
    }
    int ans = 0;
    string s(m, '0');
    for (int i = 1; i<=50; ++i) {
        int p = 1LL*rand()*rand()%n+1;
        vector<int> tmp;
        for (int j = 0; j<m; ++j) 
            if (arr[p]>>j&1) tmp.push_back(j);
        clr(dp, 0);
        int sz =  tmp.size();
        for (int j = 1; j<=n; ++j) {
            int t = 0;
            for (int k = 0; k<sz; ++k)
                if ((1LL<<tmp[k])&arr[j]) t ^= (1<<k);
            ++dp[t];
        }
        for (int j = 0; j<sz; ++j)
            for (int k = 0; k<(1<<sz); ++k)
                if (k>>j&1) dp[k^(1<<j)] += dp[k];
        for (int j = 0; j<(1<<sz); ++j) {
            if (dp[j]*2<n) continue;
            int x = __builtin_popcount(j);
            if (x>ans) {
                ans = x;
                s.clear(); 
                for (int k = 0; k<m; ++k) s += '0';
                for (int k = 0; k<sz; ++k)
                    if (j>>k&1) s[tmp[k]] = '1';
            }
        }
    }
    cout << s << endl;
    return 0;
}